Um von gekrümmten Räumen in Analogie zu gekrümmten zweidimensionalen Flächen sprechen zu können, benötigen wir mehr als nur eine Topologie und den zugehörigen Stetigkeitsbegriff auf dem Raum. Wir benötigen eine weitere Struktur, die es erlaubt, den Begriff der Differenzierbarkeit einzuführen, so dass der Raum eine kontinuierliche Struktur analog zu den reellen Zahlen aufweist. Räume mit dieser kontinuierlichen Struktur bezeichnet man als differenzierbare Mannigfaltigkeiten (wir beschränken uns auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand). Anschaulich sehen differenzierbare Mannigfaltigkeiten lokal (also im Kleinen) in gewissem Sinn so aus wie der n-dimensionale reelle Raum \( \mathbb{R}^{n} \). Es gibt nur eine Einschränkung: Längen und Winkel sind auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten noch nicht definiert. Dazu benötigen wir den Begriff der Metrik, der zu den Riemann'schen Mannigfaltigkeiten führt – dazu mehr in späteren Kapiteln.
Zunächst einmal starten wir mit einem Topologischen Raum, oder genauer: mit einem Raum, der eine Hausdorff-Topologie besitzt (ohne diese Forderung kommt man nicht aus, siehe Wikipedia: Manifold). Punkte in diesem Raum sind aufgrund ihrer Umgebungen unterscheidbar.
Um eine kontinuierliche Struktur in diesem Raum konstruieren zu können, fordern wir, dass es lokale reelle Koordinatensysteme (auch Karten genannt) auf diesem Raum gibt. Nur solche Räume, bei denen das möglich ist, werden wir weiter betrachten.
Ein Beispiel für ein solches Koordinatensystem liefern Karten der Erdoberfläche.
Teile der Erdoberfläche sind dabei in einem Atlas
auf verschiedenen Karten abgebildet. Allerdings schafft man es nicht, die
komplette Erdoberfläche auf einer einzigen flachen Karte abzubilden, ohne irgendwo
Schnitte vorzunehmen. Ein bekanntes Koordinatensystem auf der Erdoberfläche
liefern die Längen- und Breitengrade. Lediglich an Nord- und Südpol verliert
die Längengrad-Koordinate ihren Sinn, d.h. auch hier braucht man noch
ein weiteres Koordinatensystem, um diesen Mangel auszugleichen.
Das folgende Bild zeigt, wie Längen- und Breitengrade eine Kugel mit einem
Koordinaten-Gitter überziehen:
Präzisieren wir, was wir unter Koordinaten auf dem Raum \(M\) verstehen wollen:
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lokale Koordinaten (Karten): Im Raum \(M\) (mit Hausdorff-Topologie) lassen sich überall lokale Koordinaten einführen, wenn folgendes gilt: Jeder Punkt \(p\) des Raums \(M\) hat eine offene Umgebung \(U(p)\), die homöomorph (d.h. bijektiv stetig abbildbar) zu einer offenen Teilmenge \(V\) des n-dimensionalen reellen Raums \(\mathbb{R}^{n}\) ist. Was im \(\mathbb{R}^{n}\) eine offene Teilmenge ist, haben wir im vorherigen Kapitel bereits mit Hilfe der Kugelmengen \(B(p,r)\) definiert. Präzise bedeutet homöomorph, dass es zu der offenen Umgebung \(U(p)\) eine bijektive stetige Funktion \(f\) gibt, die jedem Punkt\( q \) dieser Umgebung eindeutig einen Punkt \( x = f(q) \in \mathbb{R}^{n}\) (genauer: \( \in V \)) zuordnet und umgekehrt. Der Bildpunkt \(x \in \mathbb{R}^{n}\) liefert dabei die n Koordinaten des betrachteten Punktes \(q\) bezüglich der durch \(f\) definierten Karte. Weiterhin soll auch die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) stetig sein. Den Begriff der Stetigkeit hatten wir im letzten Kapitel bereits mit Hilfe der Topologie definiert (d.h. Urbilder offener Mengen müssen offen sein). |
In dieser Definition ist von Differenzierbarkeit noch nicht die Rede, sondern nur von Stetigkeit.
Man spricht daher von topologischen Mannigfaltigkeiten.
Der Teilbereich Topologie der Mathematik beschäftigt sich
mit denjenigen Eigenschaften solcher Mannigfaltigkeiten, die bei homöomorphen
Abbildungen unverändert bleiben, und versucht so, die verschiedenen topologischen
Räume zu klassifizieren.
In diesem Sinn ist beispielsweise eine Würfeloberfläche homöomorph zu einer
Kugeloberfläche, da sich beide Flächen stetig ineinander
transformieren lassen. Die Kanten des Würfels stören dabei nicht, da wir
noch nicht von Differenzierbarkeit gesprochen haben.
In den meisten Fällen benötigt man mehrere Karten, um alle Punkte eines Raumes mit Koordinaten versehen zu können. Schon bei der Erdoberfläche war es unmöglich, eine einzige Karte zu verwenden, die die obigen Bedingungen erfüllt. Außerdem gibt es i.a. viele verschiedene Möglichkeiten, um Koordinaten in Teilgebieten der Mannigfaltigkeit einzuführen. Eine naheliegende Forderung besagt daher: Die Karten müssen miteinander verträglich sein.
An dieser Stelle kommt nun die Differenzierbarkeit ins Spiel, denn wir wollen unter Verträglichkeit von Karten folgendes verstehen:
Wir betrachten zwei stetige bijektive Karten (Funktionen) \(f_{1}\) und \(f_{2}\), die Koordinaten für zwei Teilmengen \(U_{1}\) und \(U_{2}\) des betrachteten Raums zur Verfügung stellen. Wenn diese beiden Teilmengen überlappen, so liefert die Verkettung \[ f_{1} \circ f_{2}^{-1} \] eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen des n-dimensionalen reellen Raums. Diese Abbildung rechnet die Koordinaten eines Punktes im Überlappungsbereich von \(f_{2}\) -Koordinaten in \(f_{1}\) -Koordinaten um.
Verträglichkeit bedeutet nun, dass \( f_{1} \circ f_{2}^{-1} \) sowie \( f_{2} \circ f_{1}^{-1} \) beliebig oft differenzierbar sind. Damit vermeidet man, dass irgendwelche Knicke in den Koordinatensystemen entstehen, wenn man von einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnet. Eine differenzierbare Kurve auf der Mannigfaltigkeit wird in beiden Koordinatensystemen ohne Knicke erscheinen.
Mit Hilfe der lokalen Koordinatensysteme können wir nun präzisieren, was wir unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstehen wollen:
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differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand): Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist ein Hausdorff-Raum (d.h. Punkte in diesem Raum sind aufgrund ihrer Umgebungen unterscheidbar), bei dem jeder Punkt \(p\) des Raums eine offene Umgebung \(U(p)\) besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge \(V\) des \(\mathbb{R}^{n}\) ist. Die Karten (Funktionen), die diese Abbildungen vornehmen, müssen untereinander verträglich sein (d.h. Kartenwechsel sind differenzierbare Funktionen zwischen den Koordinatensystemen). |
In der Literatur findet man hier noch Verfeinerungen dieser Definition.
Beispielsweise fordert man noch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, d.h.
eine abzählbare Anzahl von Karten soll ausreichen, um die komplette Mannigfaltigkeit
mit Koordinaten zu versorgen – wir wollen darauf hier nicht näher
eingehen.
Man kann sich die obige Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit auch so veranschaulinen (wir hatten dies weiter oben bereits erwähnt):
Analog sieht die Erdoberfläche im Kleinen aus wie die zweidimensionale Ebene \(\mathbb{R}^{2}\) – nicht umsonst haben wir Menschen die Erde lange für eine flache Scheibe gehalten.
Andere Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind die n-dimensionale Kugeloberfläche \(S^{n}\) oder die physikalische Raumzeit.
Allgemein sind n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten die mathematische Präzisierung des anschaulichen Begriffs n-dimensionaler (evtl. in sich gekrümmter) reeller Raum. Den Begriff der Krümmung werden wir etwas später noch genau definieren, denn dafür ist wiederum mehr als nur Differenzierbarkeit erforderlich. Wir reden also bisher noch nicht über Dinge wie Abstände, Winkel oder Krümmungen. Insofern kann die obige Anschauung, dass eine Mannigfaltigkeit lokal wie der \( \mathbb{R}^{n} \) aussieht, noch etwas verwirrend sein. Sie bedeutet bisher nur, dass wir lokal jeweils n reelle Koordinaten haben, und dass Koordinatenwechsel differenzierbar sein müssen.
Mannigfaltigkeiten kann man beispielsweise in dieselbe Gruppe (Klasse) einordnen, wenn sie stetig ineinander überführbar sind (also homöomorph zueinander sind, wie z.B. Kugeloberfläche und Würfeloberfläche). Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann man noch feinere Klassen bilden, indem man verlangt, dass sie differenzierbar ineinander überführbar sind (also diffeomorph zueinander sind, wie z.B. die Kugeloberfläche und eine Ei-Oberfläche). Beim Vergleich dieser beiden Klasseneinteilungen hat man einige interessante und kuriose Ergebnisse gefunden:
Wir betrachten irgendeine beliebige Klasse von zweidimensionalen zusammenhängenden kompakten Mannigfaltigkeiten, die alle stetig ineinander überführbar sind. Zusammenhängend bedeutet, dass die Mannigfaltigkeit nur aus einem Teil besteht. Kompakt bedeutet soviel wie endlich groß. Ein Beispiel wäre die Klasse aller Flächen, die sich stetig in eine Kugeloberfläche überführen lassen, beispielsweise auch Würfeloberflächen.
Nun betrachten wir innerhalb dieser 2D-Klasse alle differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (die also keine Ecken und Kanten besitzen, z.B. Eioberflächen) und fragen, wieviele Klassen (Sorten) Mannigfaltigkeiten es darin gibt, die differenzierbar ineinander überführbar sind (die also ineinander verformbar sind, ohne dass Ecken und Kanten auftreten). Ergebnis: es gibt genau eine solche Klasse.
Zusammengefasst: In jeder Klasse zueinander homöomorpher (stetig ineinander umformbarer) zweidimensionaler zusammenhängender kompakter Mannigfaltigkeiten bilden die differenzierbaren (glatten) Mannigfaltigkeiten genau eine diffeomorphe Klasse (d.h. sie lassen sich alle differenzierbar ineinander umformen). Differenzierbar plus stetig-ineinander-transformierbar bedeutet also hier dasselbe wie differenzierbar-ineinander-transformierbar.
Dasselbe nun für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten: Hier gibt es in der Klasse von Mannigfaltigkeiten, die homöomorph zu \( \mathbb{R}^{4} \) sind, sogar überabzählbar viele Klassen zueinander diffeomorpher Mannigfaltigkeiten (Freedman 1982, Donaldson 1983).
Betrachten wir \(S^{7}\), also das siebendimensionale Analogon zur zweidimensionalen Kugeloberfläche \(S^{2}\). Dann gibt es unter den zu \(S^{7}\) homöomorphen Mannigfaltigkeiten 28 verschiedene Klassen zueinander diffeomorpher Mannigfaltigkeiten (Milnor 1957).
Bei vielen Klassen zueinander homöomorpher kompakter zusammenhängender vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten lässt sich gar keine allgemeine Einteilung in diffeomorphe Unterklassen durchführen.
Man sieht also, wie kompliziert das Verhalten von Mannigfaltigkeiten sein kann. Besonders komplex sind dabei die vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Man sagt auch:
Für mehr Informationen zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten und zur sogenannten Poincaré-Vermutung siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.3 Die 3-Sphäre und die Poincaré-Vermutung .
Literatur:
© Jörg Resag, www.joerg-resag.de
last modified on 10 September 2023