Das Unteilbare

Dieses Bild wurde von mir (Jörg Resag) erstellt.

Zu diesem Bild:

Ein Elektron kann beliebig oft ein virtuelles Photon emittieren, das später wieder eingefangen wird. Das Photon kann sich seinerseits beliebig oft in ein virtuelles Elektron-Positron-Paar verwandeln, das sich später wieder zu einem Photon vereint. Diese beiden Vorgänge können beliebig tief ineinander verschachtelt sein. Das Bild stellt den Grenzfall dar, dass beide Vorgänge unendlich oft ablaufen und unendlich tief ineinander verschachtelt sind. So ungefähr kann man sich ein physikalisches Elektron vorstellen, das ständig von seiner virtuellen Teilchenwolke begleitet wird.

Das Bild ist ein sogenanntes Fraktal (siehe z.B. den Artikel von Hartmut Jürgens, Heinz-Otto Peitgen und Dietmar Saupe: Fraktale - eine neue Sprache für komplexe Strukturen, Spektrum der Wissenschaft, September 1989, S. 52). Es wurde von mir mit Hilfe eines kleinen Computerprogramms erzeugt. Die Idee ist dabei folgende:

Man stelle sich eine Mehrfach-Verkleinerungs-Kopiermaschine vor, also eine Maschine, die auf ein neues Blatt mehrere verkleinerte Kopien des Originals druckt. Für das obige Bild braucht man vier solche Kopien, die so auf das neue Blatt kopiert werden:

Man startet nun mit irgendeiner Vorlage und erstellt das neue Blatt mit den vier verkleinerten Kopien daraus. Dieses neue Blatt verwendet man nun wieder als Vorlage und erzeugt mit der Mehrfach-Verkleinerungs-Kopiermaschine wiederum ein neues Blatt. Auf diesem neuen Blatt sind also nun vier verkleinerte Kopien des Blattes, auf dem seinerseits bereits vier verkleinerte Kopien der ursprünglichen Vorlage abgebildet waren. Diesen Vorgang wiederholt man nun sehr oft. Dabei wird das von der Kopiermaschine erzeugte Bild dem oben dargestellten Bild sehr schnell immer ähnlicher, und nach einigen Dutzend Kopiervorgängen erhält man schliesslich das obige Bild (strenggenommen sind unendlich viele Kopiervorgänge notwendig). Dabei ist es vollkommen egal, wie die Vorlage aussieht, solange sie mindestens einen Punkt enthält.

Das Computerprogramm stellt die Mehrfach-Verkleinerungs-Kopiermaschine durch mehrere mathematische Abbildungen dar. Dabei erzeugt jede dieser Abbildungen ein verkleinertes Abbild der Vorlage, d.h. jede der Abbildungen berechnet aus den Koordinaten x und y jedes Bildpunktes des Originals neue Koordinaten für das verkleinerte Abbild. Für unser Bild brauchen wir vier solcher Abbildungen. Sie sind in dem folgenden Bild dargestellt:

Es genügt nun, mit einem beliebigen Punkt zu starten und zufällig eine der vier Abbildungen auszuwählen, um daraus einen neuen Punkt zu erzeugen. Nun wählt man wieder zufällig eine Abbildung aus und erzeugt aus diesem Punkt erneut einen neuen Punkt, und so fort. Diesen Vorgang wiederholt das Programm nun einige tausend mal, und zeichnet die Punkte auf den Bildschirm, wobei die ersten 100 Punkte nicht eingezeichnet werden, da sich der Prozess erst einspielen muss (d.h. der Punkt muss durch die ersten 100 Abbildungen erst mal nahe an die fraktale Struktur gezogen werden). Man kann zeigen, dass man so das fraktale Grenzbild erzeugen kann. Die Verkleinerungs-Kopier-Maschine zieht unweigerlich jeden beliebigen Punkt auf das fraktale Grenzbild zu, auf dem er dann schliesslich herumspringt.