Quelle: Wikimedia Commons File:Paul Dirac, 1933.gif, Public Domain
Versuchen wir, analog zum Fall Spin gleich Null aus dem vorherigen Kapitel nun den Fall Spin 1/2 genauer zu untersuchen. Hier nochmal die notwendigen Zutaten in Kürze (Details siehe Kapitel 4.10 und Kapitel 4.11):
|
Unitäre Darstellung der Poincaregruppe auf Einteilchen-Zuständen
\( |\boldsymbol{p},\sigma\rangle \)
mit Impuls \(\boldsymbol{p}\) und Spinkomponente \(\sigma\):
\[
T_{g} \,|\boldsymbol{p},\sigma\rangle
=
\]
\[ =
\sum_{\sigma'} \, |\Lambda\boldsymbol{p},\sigma'\rangle \,
D_{\sigma'\sigma}(u)
\]
\[ T_{h(a)} \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle = \] \[ = e^{i \, g(a,P)} \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle = \] \[ = e^{i \, g(a,p)} \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle \] Skalarprodukt: \[ \langle\boldsymbol{p}',\sigma' | \boldsymbol{p},\sigma \rangle = \] \[ = = 2p^{0} \, \delta^{3}(\boldsymbol{p}' - \boldsymbol{p}) \, \delta_{\sigma,\sigma'} \] |
Dabei war die Wigner-Rotation \(u\) ein Element der kleinen Gruppe,
die einen Standard-Viererimpuls \(k\) invariant lässt.
Die Impulsamplitude
\( f_{\sigma}(\boldsymbol{p}) \) und ihr Transformationsverhalten
hatten wir so definiert:
\[
|\psi\rangle =
\sum_{\sigma} \,
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, f_{\sigma}(\boldsymbol{p}) \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle
\]
\[
[T_{g} f](\boldsymbol{p})
=
D_{}(u') \,
f(\Lambda^{-1}\boldsymbol{p})
\]
Auch \(u'\) ist ein (anderes) Element der kleinen Gruppe.
Ein einfacheres Transformationsverhalten ergibt sich, wenn wir
zu den Feldern \(F(p)\) übergehen
mit
\[
p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}
\]
(also positiver Energie):
\[
F(p) := D(g(p)) \, f(\boldsymbol{p})
\]
\[
[T_{g} F](p) := D(g(p)) \, [T_{g} f](\boldsymbol{p})
\]
so dass
\[
[T_{g} F](p)
= D(g) \, F(\Lambda^{-1}p)
\]
Die Matrix \(g(p)\) gehört dabei zu einer Lorentztransformation \(\Lambda_{p}\), die den Standardvektor
\(k\) in \(p\) umwandelt (braucht man beim Übergang
zur kleinen Gruppe, siehe Kapitel 4.10 ).
Die Darstellungsmatrix \(D(g)\) muss übrigens nicht unitär sein.
Das Skalarprodukt mit Hilfe der
Felder ausgedrückt lautet:
\[
\langle\psi'|\psi\rangle =
\]
\[
=
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, [f '(\boldsymbol{p})]^{+}
\,
f(\boldsymbol{p}) =
\]
\[
=
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, F'(p)^{+}
\, [D(g(p))^{-1}]^{+} \, \cdot
\]
\[
\cdot \,
D(g(p))^{- 1 } F(p)
\]
Wir können also als Impuls-Wahrscheinlichkeits-Dichte interpretieren:
\[
\frac{|f_{\sigma}(\boldsymbol{p})|^{2}}{2p^{0}} =
\frac{|(D(g(p))^{- 1 } F(p))_{\sigma}|^{2}}{2p^{0}}
\]
Fouriertransformation zu Raumzeit-abhängigen Feldern (positiver Energie) ergibt:
\[
\psi(x) := \]
\[
= N \, \int d^{4}p \, F(p) \, e^{- i p x} \, \cdot
\]
\[ \cdot
\, \delta(p^{2} - m^{2}) \, \Theta(p^{0})
=
\]
\[
= N \, \int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, F(p^{0},\boldsymbol{p})
\, e^{- i p^{0} t} \, e^{i \boldsymbol{p x}}
\]
mit \( p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}} \) in der unteren Zeile,
der Normierung \( N = (2\pi)^{-3/2} \) und der Minkowski-Metrik \( p x = g(p,x) \).
Auf diesen Feldern haben wir die folgende Darstellung der Poincaregruppe:
\[
[T_{g,a} \psi](x)
= D(g) \, \psi(\Lambda^{-1}(x - a))
\]
Wenden wir wie schon im vorherigen Kapitel diese Formeln auf den Fall mit Gesamtspin 1/2 und positiver Masse an. Analog zum vorherigen Kapitel schreiben wir wieder ein tiefgestelltes \(+\) -Zeichen bei den Feldern, um klarzumachen, dass \( p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}} \) mit positivem Vorzeichen festgelegt ist (so können wir später wieder den Fall mit negativem Vorzeichen durch ein tiefgestelltes Minus-Zeichen darstellen).
Statt \(\psi(x)\) schreiben wir \(\xi_{+}(x)\) und statt \(F(p)\) mit \( p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}} \) schreiben wir \(\xi_{+}(p)\) oder auch \(\xi_{+}(\boldsymbol{p})\) (wir unterscheiden also zur Vereinfachung in der Schreibweise nicht zwischen \(\xi_{+}(x)\) und der Fouriertransformierten \(\xi_{+}(\boldsymbol{p})\), da dies durch das Argument klar ist).
Bleibt die Frage, was wir für eine Darstellungsmatrix \(D(g)\) wählen sollen. Am Ende von Kapitel 4.10 hatten wir untersucht, welche Möglichkeiten es hier gibt. Für Spin 1/2 gibt es zwei Möglichkeiten: \begin{align} D(g) &= g \\ D(g) &= (g^{+})^{-1} \end{align} Für Drehungen \(g = u\) aus \(SU(2)\) sind beide Fälle identisch. Bei Boosts dagegen ist die zweite Matrix invers zur ersten.
Schauen wir uns zuerst die einfachere Möglichkeit \(D(g) = g\) an. Sie entspricht der ersten Fundamentaldarstellung.
Fassen wir die obigen Formeln in der neuen Schreibweise noch einmal zusammen
(dabei ist in den Formeln überall
\(p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}\)):
\[
\xi_{+}(p) := g(p) \, f(\boldsymbol{p})
\]
\[
[T_{g} \xi_{+}](p)
= g \, \xi_{+}(\Lambda^{-1}p)
\]
\[
\langle\xi_{+}'|\xi_{+}\rangle
=
\]
\[ =
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \xi_{+}'(p)^{+}
\, [g(p)^{-1}]^{+}
\,
g(p)^{- 1 } \xi_{+}(p)
\]
\[
\xi_{+}(x) :=
N \, \int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
\, e^{- i p x}
\]
\[
[T_{g,a} \xi_{+}](x)
= g \, \xi_{+}(\Lambda^{-1}(x - a))
\]
Man kann in diesen Formeln die \(SL(2,\mathbb{C})\)-Boostmatrix \(g(p)\) explizit mit Hilfe der Pauli-Matrizen
ausdrücken. Sammeln wir dazu noch einmal die Details aus Kapitel 4.10 , die wir
über die kleine Gruppe bei positiver Masse kennengelernt haben:
Zur \(SL(2,\mathbb{C})\)-Matrix \(g(p)\) gehört die Lorentz-Matrix \(\Lambda_{p}\), die aus dem Standardvektor \(k\) den Vektor \(p\) macht: \[ p = \Lambda_{p} \, k \] Da wir uns hier auf den Fall positiver Masse (ungleich Null) beschränken, können wir \[ k = \begin{pmatrix} m \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix} \] wählen, also den Viererimpulsvektor im Ruhesystem als Vergleichsvektor nehmen. Zusätzlich verwenden wir wieder die Konvention, dass \(\Lambda_{p}\) ein Boost sein soll. Entsprechend ist \(g(p)\) eine hermitesche Matrix.
Der Zusammenhang zwischen einer Lorentzmatrix \(\Lambda\) und der zugehörigen \(SL(2,\mathbb{C})\)-Matrix \(g\) ist über \[ g \, \sigma(x) \, g^{+} = \sigma(\Lambda x) \] gegeben mit \[ \sigma(x) = \sigma_{\mu} x^{\mu} \] Dabei ist \(\sigma_{0} = 1 \) die 2-mal-2-Einheitsmatrix und \(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\) sind die Pauli-Matrizen. Wir schreiben auch \[ ( \sigma_{\mu} ) = (1, \boldsymbol{\sigma}) \] Setzen wir für \(x\) den Vektor \(k\) ein, für \(\Lambda\) die Matrix \(\Lambda_{p}\) und für \(g\) das zugehörige \(g(p)\), so haben wir \[ g(p) \, \sigma(k) \, g(p)^{+} = \sigma(\Lambda_{p} k) \] Für \( k = (m, \boldsymbol{0}) \) ist dabei auf der linken Seite \( \sigma(k) = m \, 1 \). Weiter ist rechts \( \Lambda_{p} \, k = p \). Und schließlich ist \(g(p)\) hermitesch, d.h. \(g(p)^{+} = g(p)\). Insgesamt ergibt sich so die Gleichung \[ g(p) \, m \, 1 \, g(p) = \sigma(p) \] oder kurz
| \[ g(p) \, g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \] oder gleichwertig dazu \[ g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \] |
Statt \( \frac{p}{m} \) kann man auch die Vierergeschwindigkeit \(u\) verwenden, denn \( p = m u \).
Nun tritt im Skalarprodukt oben aber nicht \(g(p)\), sondern \(g(p)^{-1 }\) auf. Dafür bieten sich die Matrizen \[ (\tilde{\sigma}_{\mu}) := (1, - \boldsymbol{\sigma}) \] an, die wir in Kapitel 4.11 kennengelernt haben (siehe die Weyl-Darstellung der \(\gamma\)-Matrizen dort). Es gilt nämlich \[ \sigma(x) \, \tilde{\sigma}(x) = x^{2} = g(x,x) \] so dass \[ \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) = \left(\frac{p}{m}\right)^{2} = 1 \] ist und damit \[ \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{-1} \] Also ist
| \[ g(p)^{-1} \, g(p)^{-1} = \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \] oder gleichwertig dazu \[ g(p)^{-1} = \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \] |
Im Skalarprodukt oben tritt nun gerade dieser Term \( g(p)^{-1} \, g(p)^{-1} \) auf (das Kreuz können wir weglassen, denn wie \(g(p)\) ist auch \(g(p)^{-1}\) hermitesch). Fassen wir die obigen Formeln daher noch einmal zusammen:
|
\[
\langle\xi_{+}'|\xi_{+}\rangle
=
\]
\[ =
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \xi_{+}'(p)^{+}
\, \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{+}(p)
\]
\[ \xi_{+}(x) := N \, \int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \xi_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \] \[ [T_{g} \xi_{+}](p) = g \, \xi_{+}(\Lambda^{-1}p) \] \[ [T_{g,a} \xi_{+}](x) = g \, \xi_{+}(\Lambda^{-1}(x - a)) \] |
Schauen wir uns nun die
zweite Möglichkeit \( D(g) = (g^{+})^{-1}\) an.
Sie entspricht der zweiten Fundamentaldarstellung.
Um diesen Fall von dem vorhergehenden besser unterscheiden zu können, wollen wir statt
\(\xi\) den Buchstaben \(\eta\) für das Feld verwenden.
Damit haben wir
(dabei ist in den Formeln überall wieder
\(p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}\)):
\[
\eta_{+}(p) := (g(p)^{+})^{-1} \, f(\boldsymbol{p})
\]
\[
[T_{g} \eta_{+}](p)
= (g^{+})^{-1} \, \eta_{+}(\Lambda^{-1}p)
\]
\[
\langle\eta_{+}'|\eta_{+}\rangle
=
\]
\[ =
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \eta_{+}'(p)^{+}
\, g(p)
\,
g(p)^{+} \, \eta_{+}(p)
\]
\[
\eta_{+}(x) :=
N \, \int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \eta_{+}(\boldsymbol{p})
\, e^{- i p x}
\]
\[
[T_{g,a} \eta_{+}](x)
= (g^{+})^{-1} \, \eta_{+}(\Lambda^{-1}(x - a))
\]
Für die hermiteschen Boostmatrizen können wir wieder schreiben:
\[
(g(p)^{+})^{-1} =
g(p)^{-1} = \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2}
\]
Im Skalarprodukt schreiben wir entsprechend
\[
g(p) \, g(p)^{+} = g(p) \, g(p) =
\sigma\left(\frac{p}{m}\right)
\]
und erhalten damit:
|
\[
\langle\eta_{+}'|\eta_{+}\rangle
=
\]
\[ =
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \eta_{+}'(p)^{+}
\, \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{+}(p)
\]
\[ \eta_{+}(x) := N \, \int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, \eta_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \] \[ [T_{g} \eta_{+}](p) = (g^{+})^{-1} \, \eta_{+}(\Lambda^{-1}p) \] \[ [T_{g,a} \eta_{+}](x) = (g^{+})^{-1} \, \eta_{+}(\Lambda^{-1}(x - a)) \] |
Es ist bisher vollkommen unklar, warum es zwei und nicht nur eine Möglichkeit gibt. Bisher wissen wir nur: Die Darstellungstheorie bietet diese zwei Möglichkeiten, d.h. es gibt Felder, die sich mit \(D(g) = g\) transformieren, während andere Felder sich mit \( D(g) = (g^{+})^{-1} \) transformieren.
Bei Drehungen sind beide Fälle identisch, denn für ein unitäres \( g = u \) ist \( (u^{+})^{-1} = u \). Deshalb ist in beiden Fällen der Spin gleich 1/2, denn dieser ist über das Drehverhalten definiert.
Unterschiede gibt es dagegen bei Boosts: Wenn \(g = g(p)\) ist, dann transformieren sich die Felder im ersten Fall mit \(D(g(p)) = g(p)\), während sie sich im zweiten Fall genau invers dazu transformieren: \(D(g(p)) = (g(p)^{+})^{-1} = g(p)^{-1}\).
Die Felder transformieren sich bei Boosts in beiden Fällen also invers zueinander, bei Drehungen dagegen gleich zueinander. Was aber bedeutet das für die Quantenzustände? Schauen wir uns dazu noch einmal die entsprechende Transformationsformel von oben an: \[ T_{g} \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle = \] \[ = \sum_{\sigma'} \, |\Lambda\boldsymbol{p},\sigma'\rangle \, D_{\sigma'\sigma}(u) \] Dabei ist \(u\) ein Element der kleinen Gruppe. Aus Kapitel 4.10 wissen wir, dass die kleine Gruppe alle Lorentztransformationen (bzw. die zugehörigen \(SL(2,\mathbb{C})\)-Matrizen) umfasst, die einen vorgegebenen Viererimpuls-Standardvektor \(k\) unverändert lassen. Zu jedem \(g\) gibt es dann ein \(u\), das durch \[ u = g(\Lambda p)^{-1} \, g \, g(p) \] definiert ist. Dabei gehört \(g(p)\) zur Lorentzmatrix, die \(k\) in \(p\) umwandelt.
Bei Teilchen mit Masse wählen wir \( k = (m, \boldsymbol{0}) \), also den Viererimpuls im Ruhesystem des Teilchens. \(g(p)\) entspricht dann einem Boost, und \(u\) ist aus \(SU(2)\) und entspricht einer Drehung im Ruhesystem. In Kapitel 4.10 hatten wir gezeigt, dass für eine Drehung \(g = u'\) das zugehörige \(u\) aus der kleinen Gruppe gerade gleich der Drehung \(u'\) ist.
Da \(u\) aus \(SU(2)\) ist, ist \[ (u^{+})^{-1} = u = D(u) \] d.h. sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Fundamentaldarstellung transformieren sich die Quantenzustände genau gleich. Die beiden Fälle unterscheiden sich nur durch die Art, wie aus den Impulsamplituden die Felder definiert werden.
Im ersten Fall tun wir dies über \[ \xi_{+}(p) := g(p) \, f(\boldsymbol{p}) \] und im zweiten Fall über \[ \eta_{+}(p) := (g(p)^{+})^{-1} \, f(\boldsymbol{p}) \] Dadurch ergibt sich jeweils das unterschiedliche Transformationsverhalten der Felder.
Man kann aber die beiden Felddefinitionen ineinander umrechnen. Wenn wir von derselben Impulsamplitude \(f(\boldsymbol{p})\) ausgehen, so erhält man nämlich durch Freistellen der obigen beiden Formeln nach \(f(\boldsymbol{p})\) die Gleichung \[ f(\boldsymbol{p}) = \] \[ = g(p)^{-1} \, \xi_{+}(p) = \] \[ = g(p)^{+} \eta_{+}(p) \] und somit die beiden zueinander gleichwertigen Beziehungen
|
\[
\eta_{+}(p)
=
\]
\[ =
(g(p)^{+})^{-1} \,
g(p)^{-1} \, \xi_{+}(p)
=
\]
\[ =
\tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{+}(p)
\]
\[ \xi_{+}(p) = \] \[ = g(p) \, g(p)^{+} \, \eta_{+}(p) = \] \[ = \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{+}(p) \] |
Diese Beziehung müssen die beiden Felder \( \xi_{+}(p) \) und \( \eta_{+}(p) \) erfüllen, wenn sie zur selben Impulsamplitude und damit zum selben Quantenzustand gehören sollen. Genau diesen Zusammenhang werden wir bei den Lösungen der Diracgleichung wiederfinden! Nochmal zur Erinnerung: Das gilt alles nur bei Masse größer als Null (wir teilen ja auch durch \(m\)) und in den Formeln ist überall \( p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}} \).
Wie in Kapitel 4.12 bei der Klein-Gordon-Gleichung wollen wir nun wieder den Weg umkehren: Wir starten mit irgendwelchen Feldern \(\xi(x)\) und \(\eta(x)\) und versuchen, Gleichungen für diese Felder zu formulieren, so dass wir sie in Beziehung zu den Impulsamplituden und damit zu Einteilchen-Quantenzuständen setzen können. Dafür wird wieder die Masse als Parameter in der Gleichung wichtig sein.
Wie im skalaren Fall definieren wir zunächst eine Darstellung auf den Feldern, die analog zu der oben hergeleiteten Darstellung aufgebaut ist: \[ [T_{g,a} \xi](x) := g \, \xi(\Lambda^{-1}(x - a)) \] \[ [T_{g,a} \eta](x) := (g^{+})^{-1} \, \eta(\Lambda^{-1}(x - a)) \] Und vollkommen analog zum skalaren Fall können wir die Klein-Gordon-Gleichung separat für beide Felder fordern, um bei der Fouriertransformation \( p^{2} = m^{2} \) sicherzustellen:
| \[ \hat{P}^{2} \xi(x) = m^{2} \, \xi(x) \] \[ \hat{P}^{2} \eta(x) = m^{2} \, \eta(x) \] |
mit dem Impulsoperator
\[
\hat{P}_{\mu} = i \, \frac{d}{dx^{\mu}}
\]
Damit sehen die Fourierintegrale für beide Felder analog zum skalaren Fall aus,
und wir können die entsprechenden Formeln vom skalaren Fall aus Kapitel 4.12 direkt übernehmen:
\[
\xi(x)
=
\]
\[
=
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \xi_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x}
\, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
+
\]
\[
+
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \xi_{-}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x}
\, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
\[
\eta(x)
=
\]
\[
=
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \eta_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x}
\, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
+
\]
\[
+
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \eta_{-}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x}
\, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
Es treten also wie im skalaren Fall wieder negative Energien auf, was nicht überascht, wenn man
dieselbe Gleichung fordert.
Aber etwas kommt bei Spin 1/2 noch hinzu: Wir haben zwar zwei mögliche Feldtypen (bezogen auf die Darstellung der Poincaregruppe), aber wir haben auch einen Zusammenhang zwischen den beiden Feldtypen, den diese erfüllen müssen, wenn sie zur selben Impulsamplitude und damit zum selben Quantenzustand gehören sollen (siehe oben): \[ \eta_{+}(p) = \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{+}(p) \] \[ \xi_{+}(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{+}(p) \] (mit \( p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}} \), beide Gleichungen sind äquivalent, wie wir wissen). Diese Gleichungen lassen sich sicherstellen, wenn wir für \(\xi(x)\) und \(\eta(x)\) Folgendes fordern:
| \[ \eta(x) = \tilde{\sigma}\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \xi(x) \] \[ \xi(x) = \sigma\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \eta(x) \] |
wieder mit dem Impulsoperator \( \hat{P}_{\mu} = i \, \frac{d}{dx^{\mu}} \).
Überprüfen wir es: Einsetzen der Fourierintegrale für \(\xi(x)\) und \(\eta(x)\)
ergibt nach kurzer Rechnung:
\[
\eta_{+}(p)
=
\tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{+}(p)
\, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
\[
\xi_{+}(p)
=
\sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{+}(p)
\, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
\[
\eta_{-}(p)
=
\tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{-}(p)
\, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
\[
\xi_{-}(p)
=
\sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{-}(p)
\, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
Die oberen beiden Gleichungen sind das gewünschte Ergebnis, und die unteren beiden Gleichungen sind das
Gegenstück dazu für negative Energien.
Interessant ist: Die beiden Gleichungen \[ \eta(x) = \tilde{\sigma}\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \xi(x) \] \[ \xi(x) = \sigma\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \eta(x) \] beinhalten automatisch die Klein-Gordon-Gleichung von oben, die wir also nicht mehr separat fordern müssen. Um das zu sehen, setzen wir beispielsweise die erste Gleichung in der zweiten Gleichung rechts ein: \[ \xi(x) = \sigma\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \eta(x) = \] \[ = \sigma\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{\hat{P}}{m}\right) \, \xi(x) = \] \[ = \frac{\hat{P}^{2}}{m^{2}} \, \xi(x) \] Multiplikation mit \(m^{2}\) ergibt die Klein-Gordon-Gleichung für \(\xi(x)\). Analog erhält man auch die Klein-Gordon-Gleichung für \(\eta(x)\).
Man fasst nun gerne die beiden Gleichungen zu einer einzigen Gleichung zusammen, indem man die beiden zweikomponentigen Felder \(\xi(x)\) und \(\eta(x)\) zu einem vierkomponentigen Feld \(\psi(x)\) zusammenfasst (Vorsicht: dies ist nicht das Feld \(\psi(x)\) von ganz oben): \[ \psi(x) := \begin{pmatrix} \xi(x) \\ \eta(x) \end{pmatrix} \] Man bezeichnet das Feld \(\psi(x)\) als Dirac-Spinor, \(\xi(x)\) als Weyl-Spinor und \(\eta(x)\) als konjugierten Weyl-Spinor. Zusätzlich definiert man die 4-mal-4-Operatormatrix \[ \gamma(\hat{P}) := \begin{pmatrix} 0 & \sigma(\hat{P}) \\ \tilde{\sigma}(\hat{P}) & 0 \end{pmatrix} \] d.h. es ist \[ \gamma(\hat{P}) = \gamma_{\mu} \hat{P}^{\mu} \] mit \[ \gamma_\mu := \begin{pmatrix} 0 & \sigma_\mu \\ \tilde{\sigma}_\mu & 0 \end{pmatrix} \] Mit dieser Notation lassen sich die beiden Gleichungen nun leicht zur sogenannten Dirac-Gleichung zusammenfassen:
| Dirac-Gleichung: \[ \gamma(\hat{P}) \, \psi(x) = m \, \psi(x) \] |
Die Lösungen dieser Gleichung haben wir oben bereits ermittelt. In der Schreibweise mit dem Diracspinor lauten sie \[ \psi(x) = \psi_{+}(x) + \psi_{-}(x) = \] \[ = N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \psi_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} + \] \[ + N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \psi_{-}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} \] mit \[ \psi_{+}(\boldsymbol{p}) = \] \[ = \begin{pmatrix} \xi_{+}(p) \\ \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{+}(p) \end{pmatrix} _{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} = \] \[ = \begin{pmatrix} \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{+}(p) \\ \eta_{+}(p) \end{pmatrix} _{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} \] und \[ \psi_{-}(\boldsymbol{p}) = \] \[ = \begin{pmatrix} \xi_{-}(p) \\ \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{-}(p) \end{pmatrix} _{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} = \] \[ = \begin{pmatrix} \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{-}(p) \\ \eta_{-}(p) \end{pmatrix} _{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} \] Die Matrizen \(\gamma_{\mu}\) in der Diracgleichung kennen wir aus Kapitel 4.11 : Es sind die Diracmatrizen in der Weyl-Darstellung.
Diese Matrizen sind eine spezielle Matrixdarstellung für die Generatoren der Clifford-Algebra der Minkowski-Raumzeit, wie wir dort gelernt haben. Daher gilt die universelle Eigenschaft dieser Clifford-Algebra \[ \gamma(x) \, \gamma(y) = g(x,y) \] mit der Minkowski-Metrik \( g(x,y) = x^{\mu} y_{\mu} \) (kann man natürlich nochmal explizit nachrechnen). Insbesondere ist \[ \gamma(\hat{P}) \, \gamma(\hat{P}) = g(\hat{P},\hat{P}) = \hat{P}^{2} \] Damit können wir leicht erneut zeigen, dass aus der Diracgleichung \( \gamma(\hat{P}) \, \psi(x) = m \, \psi(x) \) die Klein-Gordon-Gleichung \( \hat{P}^{2} \, \psi(x) = m^{2} \, \psi(x) \) für \(\psi(x)\) folgt: Wir multiplizieren die Diracgleichung mit \(\gamma(\hat{P})\) und erhalten \[ \gamma(\hat{P}) \, \gamma(\hat{P}) \, \psi(x) = m \, \gamma(\hat{P}) \, \psi(x) \] Links verwenden wir \( \gamma(\hat{P}) \, \gamma(\hat{P}) = \hat{P}^2 \) und rechts setzen wir wieder die Diracgleichung ein. Ergebnis: \[ \hat{P}^{2} \, \psi(x) = m \, \gamma(\hat{P}) \, \psi(x) = m^{2} \, \psi(x) \] Historisch entwickelte Paul Dirac die Diracgleichung, um anders als bei der Klein-Gordon-Gleichung eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte aus der Nullkomponente eines Viererstroms gewinnen zu können. Wir werden gleich sehen, ob das hier gelingt. Dazu strebte er eine Gleichung mit einer einfachen (statt zweifachen) Zeitableitungen an, analog zur Schrödingergleichung. Tatsächlich enthält die Diracgleichung nur eine erste Ableitung in der Zeit, so wie von Dirac angestrebt.
Dirac ging dabei so vor: er machte den Ansatz
\[
\gamma(\hat{P}) \, \psi(x) = m \, \psi(x)
\]
und forderte von dem noch unbekannten Objekt \( \gamma(\hat{P}) \), dass
sein Quadrat gleich \(\hat{P}^{2}\) sein müsse, damit er die Klein-Gordon-Gleichung reproduzieren konnte
(wie oben gezeigt). Das führte ihn auf die universelle Eigenschaft der Raum-Zeit-Clifford-Algebra
\[
\gamma(x) \, \gamma(y) = g(x,y)
\]
Quelle: Wikimedia Commons
File:Paul Dirac, 1933.gif, Public Domain
Aus heutiger Sicht ist es gar nicht notwendig, aus den Feldern direkt eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte zu konstruieren. Wir haben ja in Kapitel 4.10 ganz allgemein gesehen, wie die Felder sich in Impulsamplituden umrechnen lassen und wie sich dadurch schließlich eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte konstruieren lässt, wobei positive und negative Energien getrennt betrachtet werden müssen. Für die Diracgleichung werden wir das gleich nochmal explizit durchführen.
Den eigentlichen Unterschied zwischen Dirac- und Klein-Gordon-Gleichung haben wir bereits durch die Art ihrer Konstruktion deutlich gemacht: Quantenzustände mit Spin 0 führten zur Klein-Gordon-Gleichung, Quantenzustände mit Spin 1/2 führen zur Dirac-Gleichung. Entsprechend beschreibt die Klein-Gordon-Gleichung Felder mit Spin Null, die Dirac-Gleichung Felder mit Spin 1/2. Das hatte Dirac zunächst gar nicht beabsichtigt, aber es kam bei seiner Konstruktion einer relativistischen Differentialgleichung erster Ordnung nebenbei heraus.
Oben hatten wir das Transformationsverhalten der Felder vorausgesetzt und dann die dazu passende Diracgleichung konstruiert. Wir können leicht nachrechnen, dass wenn \[ \psi(x) = \begin{pmatrix} \xi(x) \\ \eta(x) \end{pmatrix} \] eine Lösung der Diracgleichung ist, dass dann auch \[ [T_{g,a} \psi](x) = \begin{pmatrix} [T_{g,a} \xi](x) \\ [T_{g,a} \eta](x) \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} g \, \xi(\Lambda^{-1}(x - a)) \\ (g^{+})^{-1} \, \eta(\Lambda^{-1}(x - a)) \end{pmatrix} \] eine Lösung der Diracgleichung ist – so hatten wir ja die Diracgleichung konstruiert. Es bietet sich an, die Schreibweise aus Kapitel 4.11 für dieses Transformationsgesetz zu verwenden (in der Weyl-Basis für die Diracmatrizen):
| \[ [T_{g,a} \psi](x) = S \, \psi(\Lambda^{-1}(x - a)) \] mit der Matrix \[ S = \begin{pmatrix} g & 0 \\ 0 & (g^+)^{-1} \end{pmatrix} \] |
Umgekehrt erzwingt die Diracgleichung (in der Weyl-Basis) sogar die obige Form von \(S\) und legt damit fest, dass wir es mit Spin 1/2 zu tun haben. Schauen wir uns dazu die Details an:
Am Einfachsten geht es, wenn wir für \(\psi(x)\) das allgemeine Fourierintegral einsetzen (vergleiche den skalaren Fall in Kapitel 4.12 ) und so die Diracgleichung im Impulsraum aufstellen: \[ \psi(x) = N \, \int d^{4}p \, h(p) \, e^{- i p x} \] Natürlich ist \(h(p)\) hier (anders als im skalaren Fall) ein vierkomponentiges Objekt analog zu \(\psi(x)\). Im Impulsraum lautet die Diracgleichung dann: \[ \gamma(p) \, h(p) = m \, h(p) \] und für das Transformationsverhalten von \(h(p)\) bei Lorentztransformationen gilt (die hier unwichtigen Translationen lassen wir weg): \[ [T_{g} h](p) = S \, h(\Lambda^{-1}p) \] Wir fordern nun: Wenn \(h(p)\) eine Lösung der Diracgleichung im Impulsraum ist, so soll auch \([T_{g} h](p)\) eine Lösung sein: \[ \gamma(p) \, [T_{g} h](p) = m \, [T_{g} h](p) \] Einsetzen von \( [T_{g} h](p) = S \, h(\Lambda^{-1}p) \) ergibt: \[ \gamma(p) \, S \, h(\Lambda^{-1}p) = m \, S \, h(\Lambda^{-1}p) \] Wir setzen nun \(p' := \Lambda^{-1} p \) und lassen den Strich wieder weg: \[ \gamma(\Lambda p) \, S \, h(p) = m \,S \, h(p) \] Rechts können wir nach der Diracgleichung \( m \, h(p) \) durch \( \gamma(p) \, h(p) \) ersetzen (\(m\) vertauscht als Zahl mit der Matrix \(S\)): \[ \gamma(\Lambda p) \, S \, h(p) = S \, \gamma(p) \, h(p) \] Da diese Gleichung für beliebige \(h(p)\) gelten soll (sofern sie Lösungen der Diracgleichung sind), müssen die darauf angewendeten Matrizen gleich sein, d.h. es gilt \[ \gamma(\Lambda p) \, S = S \, \gamma(p) \] Multiplikation von rechts mit \( S^{-1} \) ergibt:
| \[ \gamma(\Lambda p) = S \, \gamma(p) \, S^{-1} \] |
Das ist genau die Gleichung für die Spin-Gruppe der Lorentzgruppe, wie wir sie aus Kapitel 4.11 kennen. Dabei wird die Spingruppe durch die Matrizen \(S\) gebildet, die über die obige Gleichung jeweils mit einem \(\Lambda\) zusammenhängen. Bei der Minkowski-Metrik ist die Spingruppe gleich der universellen Überlagerungsgruppe, und wir haben in Kapitel 4.11 bereits gesehen, dass die Gleichung \[ \gamma(\Lambda p) = S \, \gamma(p) \, S^{-1} \] äquivalent zur Gleichung \[ g \, \sigma(p) \, g^{+} = \sigma(\Lambda p) \] ist, mit der wir sonst die universelle Überlagerungsgruppe angegeben haben. Für \(S\) ergibt sich dabei in Kapitel 4.11 in der Weyl-Basis die Form, wie wir sie oben angegeben haben. \(S\) und \(g\) hängen also eindeutig miteinander zusammen.
Analog zur Klein-Gordon-Gleichung kann man auch bei der Diracgleichung wieder einen erhaltenen Viererstrom definieren und über die Null-Komponente dieses Stroms ein Poincare-invariantes Skalarprodukt gewinnen:
| Vierer-Stromdichte für die Dirac-Gleichung: \[ j_{\mu}(x) = \bar{\psi}(x) \, \gamma_{\mu} \, \psi(x) \] |
mit \[ \bar{\psi}(x) := \psi^{+}(x) \, \gamma_{0} \] Das Poincare-invariante Skalarprodukt lautet dann:
| Skalarprodukt für Dirac-Spinoren: \[ \langle\psi'|\psi\rangle = \] \[ = \int_{t=0} d^{3}x \, \bar{\psi}'(x) \, \gamma_{0} \, \psi(x) = \] \[ = \int_{t=0} d^{3}x \, \psi'^{+}(x) \, \psi(x) \] |
Dabei müssen \(\psi(x)\) und \(\psi'(x)\) jeweils eine Lösung der Diracgleichung sein. Vollkommen analog sieht auch das nichtrelativistische Skalarprodukt für die Schrödinger-Wellenfunktion (genauer: für den 2er-Pauli-Spinor) bei Spin 1/2 aus, wobei allerdings \(\psi\) nur 2 Komponenten hat. Tatsächlich wird ja aus dem Dirac-Viererspinor im nichtrelativistischen Grenzfall gleichsam ein Zweierspinor, da für \( \boldsymbol{p}/m \rightarrow 0 \) und damit \( p^0/m \rightarrow 1 \) auch \[ \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \rightarrow 1 \] \[ \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \rightarrow 1 \] und somit der Unterschied zwischen \(\xi\) und \(\eta\) verschwindet – es wird \( \xi = \eta \).
Wie wir direkt sehen, ist das Skalarprodukt positiv definit, denn für \(\psi = \psi'\) ist der Integrand \( \psi^{+}(x) \, \psi(x) \) positiv. Genau das wollte Dirac ursprünglich erreichen, und es ist ihm gelungen.
Rechnen wir das Skalarprodukt noch in den Impulsraum um, indem wir
\[
\psi(x)
=
\]
\[
=
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \psi_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x}
\, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
+
\]
\[
+
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \psi_{-}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x}
\, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
von oben einsetzen und neben der Normierung \( N = (2 \pi)^{-3/2} \)
noch die Formel
\[
\int d^{3}x \,
e^{i (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}') \boldsymbol{x}} =
(2 \pi)^{3} \, \delta^{3}(\boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}')
\]
verwenden (siehe
Kapitel 4.10 sowie
Wikipedia: Delta-Distribution ).
\[
\langle\psi'|\psi\rangle =
\]
\[ =
\int_{t=0} d^{3}x \,
\psi'^{+}(x) \, \psi(x) =
\]
\[
=
\int_{t=0} d^{3}x \,
N \, \int \frac{d^{3}p'}{|2p'^{0}|} \,
N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \cdot
\]
\[ \cdot \,
(\psi'_{+}(\boldsymbol{p}') + \psi'_{-}(\boldsymbol{p}'))^{+}
\, e^{- i \boldsymbol{p' x}} \, \cdot
\]
\[ \cdot \,
(\psi_{+}(\boldsymbol{p}) + \psi_{-}(\boldsymbol{p}))
\, e^{i \boldsymbol{p x}} =
\]
\[
=
\int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \frac{1}{|2p^{0}|} \, \cdot
\]
\[ \cdot \,
(\psi'_{+}(\boldsymbol{p}) + \psi'_{-}(\boldsymbol{p}))^{+}
\,
(\psi_{+}(\boldsymbol{p}) + \psi_{-}(\boldsymbol{p}))
=
\]
\[ = \, ... \]
Beim Ausmultiplizieren im Integranden tauchen 4 Terme auf, die wir einzeln ausrechnen wollen.
Dabei müssen wir auf das Vorzeichen von \(p^{0}\) bei der Beziehung zwischen \(\xi\) und \(\eta\) achten
und verwenden daher
die Abkürzungen
\[
p_{+} := p |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
\[
p_{-} := p |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}}
\]
Nützlich ist dabei immer wieder die Beziehung
\[
\quad
\tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \sigma\left(\frac{p}{m}\right) =
\]
\[ =
\sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) =
\]
\[ =
\frac{p^2}{m^2} = 1
\]
die wir in der jeweils zweiten Zeile der Rechnung für die \(1\) einfügen.
Legen wir los:
\[
{\psi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \psi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[1 +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)\right]
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \bigg[\sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) +
\]
\[ +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)\bigg]
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[\sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right) +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)\right] \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \frac{2 |p^{0}|}{m} \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
\]
\[
{\psi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \psi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[1 +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)\right]
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \bigg[\sigma\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) +
\]
\[ +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)\bigg]
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[\sigma\left(\frac{p_{-}}{m}\right) +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)\right] \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \frac{2 (-|p^{0}|)}{m} \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
\]
\[
{\psi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \psi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[1 +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)\right]
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \bigg[\sigma\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) +
\]
\[ +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)\bigg]
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[\sigma\left(\frac{p_{-}}{m}\right) +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)\right] \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
0
\]
\[
{\psi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \psi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[1 +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)\right]
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{-}(\boldsymbol{p})
\, \bigg[\sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) +
\]
\[ +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)\bigg]
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \left[\sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right) +
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)\right] \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
=
\]
\[
=
0
\]
Damit lautet das Skalarprodukt:
\[
\langle\psi'|\psi\rangle =
\int_{t=0} d^{3}x \,
\psi'^{+}(x) \psi(x) =
\]
\[
=
\int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \frac{1}{|2p^{0}|} \, \cdot
\]
\[ \cdot \,
(\psi'_{+}(\boldsymbol{p}) + \psi'_{-}(\boldsymbol{p}))^{+}
\,
(\psi_{+}(\boldsymbol{p}) + \psi_{-}(\boldsymbol{p}))
=
\]
\[
=
\int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \frac{1}{|2p^{0}|} \, \cdot
\]
\[ \cdot \,
\bigg(
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \frac{2 |p^{0}|}{m} \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
+
\]
\[ +
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \frac{2 (-|p^{0}|)}{m} \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
\bigg)
=
\]
\[
=
\int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \,
\bigg(
{\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)
\, \xi_{+}(\boldsymbol{p})
+
\]
\[
-
{\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p})
\, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right)
\, \xi_{-}(\boldsymbol{p})
\bigg) \, \frac{1}{m}
\]
Halten wir fest:
| Skalarprodukt für Dirac-Spinoren: \[ \langle\psi'|\psi\rangle = \int_{t=0} d^{3}x \, \psi'^{+}(x) \psi(x) = \] \[ = \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \bigg( {\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right) \, \xi_{+}(\boldsymbol{p}) + \] \[ - {\xi'_{-}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \, \xi_{-}(\boldsymbol{p}) \bigg) \, \frac{1}{m} \] |
Der erste Term entspricht (bis auf den unwichtigen Normierungsfaktor \(\frac{1}{m}\)) genau dem Skalarprodukt, das wir ganz oben aus dem Skalarprodukt für Quantenzustände bereits hergeleitet haben. Der zweite Term liefert nun ein separates Skalarprodukt für Felder mit negativen Energien, ganz analog zur Klein-Gordon-Gleichung. Gemischte Skalarprodukte zwischen Feldern mit positiver und negativer Energie gibt es wieder nicht, d.h. wir können diese Felder wieder getrennt betrachten, denn es gibt keine Superpositionen zwischen positiven und negativen Energien, die messbare Auswirkungen hätten. Das negative Vorzeichen beim zweiten Skalarprodukt bedeutet übrigens nicht, dass dieses Skalarprodukt negativ definit wäre. Typischerweise ist die führende Nullkomponente in \( \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{-}}{m}\right) \) ja negativ, was mit dem Vorzeichen zusammen positiv ist.
Kommen wir zu den negativen Energien. Wir wollen versuchen, ganz analog zum skalaren Fall aus dem vorherigen Kapitel vorzugehen, um diese Energien physikalisch zu interpretieren. Lösungen der Diracgleichung mit negativer Energie wollen wir wieder mit den Impulsamplituden von Quantenzuständen in Zusammenhang bringen, wobei der Einteilchen-Quantenzustand natürlich wieder nur positive Energien umfasst.
Zunächst einmal können wir positive und negative Energien wieder getrennt betrachten: Lorentztransformationen mischen sie nicht, und im Skalarprodukt treten sie auch getrennt voneinander auf. Entsprechend hatten wir \(\psi(x)\) oben bereits aufgeteilt in \[ \psi(x) = \psi_{+}(x) + \psi_{-}(x) = \] \[ = N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \psi_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} + \] \[ + N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \psi_{-}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} \] Der Lösungsraum der Dirac-Gleichung zu gegebenem \(m\) teilt sich also wieder auf in zwei irreduzible Darstellungsräume der Poincaregruppe: einen mit positiver und einen mit negativer Energie. Stellen wir noch einmal den Zusammenhang her zwischen den Lösungen der Diracgleichung mit positiver Energie und den Impulsamplituden von Quantenzuständen. Ganz oben hatten wir für den Zusammenhang zwischen Impulsamplitude und Einteilchen-Quantenzustand die Formel \[ |\psi_{+}\rangle = \sum_{\sigma} \, \int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, f_{\sigma}(\boldsymbol{p}) \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle \] Die Impulsamplitude \(f(\boldsymbol{p})\) (als Zweierspinor gedacht, daher ohne den Index \(\sigma\) geschrieben) können wir nun wahlweise mit dem Feld \(\xi_{+}(\boldsymbol{p})\) oder dem Feld \(\eta_{+}(\boldsymbol{p})\) in Verbindung bringen (siehe oben). Wegen der Diracgleichung sind beide Felder ja nicht unabhängig voneinander. Oben hatten wir: \[ f(\boldsymbol{p}) = \] \[ = g(p)^{-1} \, \xi_{+}(p) = \] \[ = g(p)^{+} \, \eta_{+}(p) \] Wir entscheiden uns willkürlich für das Feld \(\xi_{+}(p)\). Außerdem können wir von oben \[ g(p)^{-1} = \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \] verwenden, wobei wir wie oben mit \(p_{+}\) ausdrücken, dass \(p^0\) die positive Energie ist. Wir schreiben also:
|
\[
f(\boldsymbol{p}) =
\tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \xi_{+}(p)
\]
\[ |\psi_{+}\rangle = \sum_{\sigma} \, \int \frac{d^{3}p}{2|p^{0}|} \, \cdot \] \[ \cdot \, \left( \tilde{\sigma}\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \xi_{+}(p) \right)_{\sigma} \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle \] |
Sieht nicht schön aus, aber wir wollten ja unbedingt ein Diracfeld hier unterbringen. Da wir es unten zum Vergleich noch brauchen, schauen wir uns die Formeln noch an, wenn wir \(\eta\) statt \(\xi\) verwenden, also \( f(\boldsymbol{p}) = g(p)^{+} \, \eta_{+}(p) \) schreiben. Hier können wir dann noch \( g(p)^{+} = g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \) verwenden, so dass gilt (wir schreiben wieder \(p_{+}\), um das Vorzeichen von \(p^{0}\) sichtbar zu machen):
|
\[
f(\boldsymbol{p}) =
\sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \eta_{+}(p)
\]
\[ |\psi_{+}\rangle = \sum_{\sigma} \, \int \frac{d^{3}p}{2|p^{0}|} \, \cdot \] \[ \cdot \, \left( \sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \eta_{+}(p) \right)_{\sigma} \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle \] |
Bei den negativen Energien wollen wir genau dieselbe Form der Gleichungen erreichen. Schauen wir uns dazu noch einmal die Fourierintegrale für \(\xi(x)\) an: \[ \xi_{+}(x) = N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \xi_{+}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \, |_{ p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} \] \[ \xi_{-}(x) = N \, \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \xi_{-}(\boldsymbol{p}) \, e^{- i p x} \, |_{ p^{0} = -\sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}}} \] In \(\xi_{-}(x)\) substituieren wir wieder \( k := - p \) für alle 4 Impulskomponenten, so dass \(k^{0}\) positiv ist und mit einer Teilchenenergie identifiziert werden kann. Eingesetzt im Integral für \(\xi_{-}(x)\) ergibt das: \[ \xi_{-}(x) = N \, \int \frac{d^{3}k}{|2k^{0}|} \, \xi_{-}(-\boldsymbol{k}) \, e^{i k x} |_{ k^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{k}^{2}}} \] Nun müssen wir nur noch komplex konjugieren, um dieselbe Form des Fourierintegrals wie bei den positiven Energien zu erhalten: \[ [\xi_{-}(x)]^{*} = N \, \int \frac{d^{3}k}{2k^{0}} \, [\xi_{-}(-\boldsymbol{k})]^{*} \, e^{- i k x} |_{ k^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{k}^{2}}} \] Sind wir damit schon fertig? Nicht ganz, denn es gibt eine Zusatzinformation zum skalaren Fall. Wir möchten gerne, dass der Feldindex \(\sigma\) als Spinindex interpretiert werden kann. Dazu muss sich aber das Feld entweder mit \(g\) oder mit \((g^{+})^{-1}\) transformieren. Das Feld \( [\xi_{-}(x)]^{*} \) und damit auch das Feld \( [\xi_{-}(-\boldsymbol{k})]^{*} \) transformiert sich aber mit \(g^{*}\).
Man kann dieses Problem aber beheben. Dazu verwenden wir die reelle 2-mal-2-Matrix \[ \epsilon = -i \sigma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] die wir für die folgende Definition für komplexe 2-mal-2-Matrizen verwenden (siehe auch Kapitel 6.1 ): \[ \tilde{A} := \epsilon \, A^{T} \, \epsilon^{-1} \] (dabei ist \(A^{T}\) die zu \(A\) transponierte Matrix; die Definition reproduziert auch automatisch unsere obige Definition von \(\tilde{\sigma}\)), denn mit dieser Definition gilt \[ A \, \tilde{A} = \tilde{A} \, A = 1 \, \det{A} \] und daher auch (wie wir bereits wissen) \[ \sigma(x) \, \tilde{\sigma}(x) = \tilde{\sigma}(x) \, \sigma(x) = \] \[ = 1 \, \det{\sigma(x)} = x^{2} = (x^{0})^{2} - \boldsymbol{x}^{2} \] sowie \[ g \, \tilde{g} = \tilde{g} \, g = 1 \, \det{g} = 1 \] Jetzt wissen wir auch, woher die Schreibweise \( \tilde{\sigma}(x) \) stammt, die wir schon mehrfach verwendet haben. Aber was hilft uns das, um aus der Darstellung mit \(g^{*}\) entweder \(g\) oder \((g^{+})^{-1}\) zu machen? Es hilft so:
Aus \( \tilde{g} \, g = 1 \) folgt direkt \[ \tilde{g} = g^{-1} \] oder ausgeschrieben \[ \epsilon \, g^{T} \, \epsilon^{-1} = g^{-1} \] Transponieren und komplexes Konjugieren (also hoch \(+\)) ergibt \[ \epsilon \, g^{*} \, \epsilon^{-1} = (g^{+})^{-1} \] oder umgeschrieben \[ \epsilon \, g^{*} = (g^{+})^{-1} \, \epsilon \] Angewendet auf \(\xi^{*}\) erhält man \[ \epsilon \, (g \, \xi)^{*} = (g^{+})^{-1} \, \epsilon \, \xi^{*} \] Das bedeutet: Wenn sich der Spinor \(\xi\) wie ein Weyl-Spinor verhält (aus \(\xi\) wird auf der linken Seite also \(g \, \xi\)), so wird aus dem Ausdruck \( \epsilon \, \xi^{*} \) der Ausdruck \( \epsilon \, (g \, \xi)^{*} \) (linke Seite).
Dieser Ausdruck ist wegen der obigen Gleichung aber gleich \( (g^{+})^{-1} \, \epsilon \, \xi^{*} \), d.h. der Gesamtausdruck \( \epsilon \, \xi^{*}\) transformiert sich wie ein konjugierter Weyl-Spinor, denn er wird mit \((g^{+})^{-1}\) multipliziert).
In diesem Sinn macht die Matrix \( \epsilon \)
zusammen mit dem komplexen Konjugieren
aus einem Weyl-Spinor einen konjugierten Weyl-Spinor.
Damit ist klar, was zu tun ist: Wir müssen oben nicht nur komplex konjugieren, sondern auch noch
mit der Matrix \(\epsilon\) von links multiplizieren:
\[
\epsilon \, [\xi_{-}(x)]^{*}
=
\]
\[ =
N \, \int \frac{d^{3}k}{2k^{0}} \, \epsilon \, [\xi_{-}(-\boldsymbol{k})]^{*}
\, e^{- i k x}
|_{ k^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{k}^{2}}}
\]
Dieses Feld transformiert sich wie \(\eta_{+}(x)\) und hat dieselbe Fourierentwicklung mit positiven Energien,
kann also wie \(\eta_{+}(x)\) verwendet werden, um mit Impulsamplituden in Verbindung gebracht zu werden.
Die entsprechenden Formeln für \(\eta_{+}\) bei positiven Energien waren (siehe oben):
\[
f(\boldsymbol{p}) =
\sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \eta_{+}(p)
\]
\[
|\psi_{+}\rangle =
\sum_{\sigma} \,
\int \frac{d^{3}p}{2|p^{0}|} \, \cdot
\]
\[ \cdot \,
\left( \sigma\left(\frac{p_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \eta_{+}(p) \right)_{\sigma}
\, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle
\]
Also schreiben wir für die negativen Energien:
|
\[
f(\boldsymbol{k}) =
\sigma\left(\frac{k_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \epsilon \, [\xi_{-}(-\boldsymbol{k})]^{*}
\]
\[ |\psi_{-}\rangle = \sum_{\sigma} \, \int \frac{d^{3}k}{2|k^{0}|} \, \cdot \] \[ \cdot \, \left( \sigma\left(\frac{k_{+}}{m}\right)^{1/2} \, \epsilon \, [\xi_{-}(-\boldsymbol{k})]^{*} \right)_{\sigma} \, |\boldsymbol{k},\sigma\rangle \] |
wobei \(k^{0}\) die positive Teilchenenergie ist.
Auch hier gilt wie schon bei der Klein-Gordon-Gleichung: Was das Ganze mit Antiteilchen zu tun hat, das ist momentan noch nicht zu sehen – man müsste sich dazu mit ladungsartigen Quantenzahlen befassen. Immerhin haben wir aber gesehen: auch die negativen Energielösungen der Diracgleichung lassen sich mit Impulsamplituden und damit mit physikalischen Einteilchen-Zuständen in Verbindung bringen.
Im skalaren Fall bei der Klein-Gordon-Gleichung (siehe Kapitel 4.12) bereitet es keine Probleme, den Grenzfall masseloser Teilchen zu betrachten, denn die Boosts \(g(p)\) werden trivial durch die Einheitsmatrix dargestellt. Das ist bei Spin 1/2 anders: hier tritt in der Darstellungsmatrix \[ g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \] der Quotient \(\frac{p}{m}\) auf, so dass der Grenzfall masseloser Teilchen zunächst zu einem divergenten Ausdruck führt, nämlich zu einem Boost mit unendlicher Rapidität. Trotzdem bereitet der Grenzfall masseloser Teilchen in der Diracgleichung selbst keine Probleme. Man erhält
| masselose Diracgleichung (Weyl-Gleichungen): \[ \gamma(\hat{P}) \, \psi(x) = 0 \] oder in den Feldern \(\xi\) und \(\eta\) ausgedrückt (Weyl-Gleichungen) \begin{align} \tilde{\sigma}(\hat{P}) \, \xi(x) &= 0 \\ \sigma(\hat{P}) \, \eta(x) &= 0 \end{align} |
Man sieht, dass die beiden Felder \(\xi\) und \(\eta\) nicht mehr miteinander zusammenhängen. Sie sind voneinander entkoppelt. Dafür muss aber nun jedes Feld für sich eine eigene Gleichung erfüllen – was sie bedeutet, sehen wir gleich. Nur solche \(\xi\), die die obige Gleichung erfüllen, können mit der Impulsamplitude etwas zu tun haben!
Für die Herleitung des Transformationsgesetzes von \(\psi\) aus der Diracgleichung spielt es keine Rolle, wenn wir \(m = 0\) setzen (siehe die Rechnung oben). Für \(\psi\) und damit auch für \(\xi\) und \(\eta\) ergeben sich daher aus der masselosen Diracgleichung dieselben Transformationseigenschaften wie im Fall massiver Teilchen.
Woran liegt es, dass wir in der Diracgleichung so problemlos den masselosen Grenzfall betrachten können? Die Lösung ist: Man kann zwar in \[ g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \] nicht einfach \(m = 0\) setzen, aber in vielen Formeln, die \(g(p)\) verwenden, kann man mit \(m\) multiplizieren und so die Masse aus dem Nenner entfernen. Dann macht der Grenzfall \(m = 0\) auf einmal Sinn. So auch in den Formeln \[ \eta_{+}(p) = \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right) \, \xi_{+}(p) \] \[ \xi_{+}(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right) \, \eta_{+}(p) \] die ja zur Dirac-Gleichung führten. Multipliziert man mit \(m\) und setzt dann \(m = 0\), so erhält man \[ \tilde{\sigma}(p) \, \xi_{+}(p) = 0 \] \[ \sigma(p) \, \eta_{+}(p) = 0 \] Beide Formeln kann man noch etwas umschreiben. So kann man die obere Gleichung schreiben als \[ (p^{0} - \boldsymbol{\sigma p}) \, \xi_{+}(p) = 0 \] mit \(\boldsymbol{\sigma p} = \sigma(\boldsymbol{p}) \).
Bringt man den zweiten Term auf die rechte Seite, dividiert durch \(p^{0}\) und verwendet wegen \(m = 0\) noch \(p^{0} = |\boldsymbol{p}|\), so erhält man \[ \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, \xi_{+}(p) = \xi_{+}(p) \] Analog geht es auch mit der unteren Gleichung. Ergebnis:
| \[ \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, \xi_{+}(p) = \xi_{+}(p) \] \[ \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, \eta_{+}(p) = - \eta_{+}(p) \] |
Da \(\boldsymbol{\sigma}\) gleich dem Spinoperator durch 2 ist, kann man die Gleichungen so interpretieren: Der Spin von \(\xi_{+}(p)\) in \(\boldsymbol{p}\)-Richtung ist +1/2, der von \(\eta_{+}(p)\) ist -1/2 . Aus Kapitel 4.10 wissen wir, dass der Spin in \(\boldsymbol{p}\)-Richtung gerade die Helizität ist.
Wie hängen nun die Felder \(\xi_{+}(p)\) und \(\eta_{+}(p)\) mit der Impulsamplitude zusammen? Das hatten wir bereits in Kapitel 4.10 im Detail untersucht. Hier noch einmal das Ergebnis:
|
Zusammenhang zwischen einem Feld und der Impulsamplitude in Helizitätsdarstellung:
\[
|\psi,\sigma\rangle =
\int \frac{d^{3}p}{2p^{0}} \, h^{\sigma}(\boldsymbol{p}) \, |\boldsymbol{p},\sigma\rangle
\]
\[ H^{ \sigma}_{s m_{s}}(p) = N_m \, F^{ \sigma}_{s m_{s}}(p) = \] \[ = N_m \, \sum_{m_{s}'} \, h^{\sigma}(\boldsymbol{p}) \, \cdot \] \[ \cdot \, D^{s}_{m_{s} m_{s}'}(u(\boldsymbol{w})) \, D^{s}_{m_{s}' \sigma} (g(p^{0} \, (1, \boldsymbol{e}_{3}))) \] |
Dabei ist \(h^{\sigma}(\boldsymbol{p})\) die Impulsamplitude
zur Helizität \(\sigma\), es ist \(F^{ \sigma}_{s m_{s}}(p)\)
das Feld zu dieser Helizität, wobei der Feldindex durch den Spinindex \(m_{s}\)
gegeben ist, und \(H^{ \sigma}_{s m_{s}}(p)\)
ist das mit dem masseabhängigen Normierungsfaktor \(N_m\) versehene Feld.
Der Boost \( g(p^{0} (1, \boldsymbol{e}_{3})) \) in z-Richtung ist wie im massiven Fall so definiert, dass er ausgehend von einem Ruheimpuls \( (m, \boldsymbol{0}) \) den Viererimpuls \( p^{0} (1, \boldsymbol{e}_{3}) \) erreicht (also in z-Richtung auf die Energie \(p^{0}\) hochboostet).
Diesen Boost müssen wir nun im Grenzfall Masse gegen Null betrachten, d.h. die Rapidität \(\alpha\) dieses Boosts in z-Richtung geht gegen unendlich. Das führt meist zu Divergenzen in der Boost-Darstellungsmatrix \(D^{s}(g(p^{0} (1, \boldsymbol{e}_{3}))) \) und damit zu einem divergenten Feld \(F\) im masselosen Grenzfall.
Um im masselosen Grenzfall dennoch ein nicht-divergentes Feld zu definieren, haben wir den Normierungsfaktor \(N_m\) eingefügt, der geeignet gegen Null geht, so dass der Term \( N_m \, D(g(p^{0} (1, \boldsymbol{e}_{3}))) \) und somit auch das Feld \(H\) im masselosen Grenzfall endlich ist.
Wie sieht das nun in unserem Fall aus? Zunächst einmal schreiben wir den Boost in z-Richtung in der Form \[ g(p^{0} (1, \boldsymbol{e}_{3})) = \] \[ = \begin{pmatrix} \cosh{\frac{\alpha}{2}} + \sinh{\frac{\alpha}{2}} & 0 \\ 0 & \cosh{\frac{\alpha}{2}} - \sinh{\frac{\alpha}{2}} \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} e^{\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{- \alpha/2} \end{pmatrix} \] (siehe Kapitel 4.10).
Wie hängt die Rapidität \(\alpha\) mit der Masse \(m\) für \(m\) gegen Null zusammen? Für die Boostmatrix in z-Richtung \(\Lambda_{b}\) gilt: \[ \Lambda_{b} \, \begin{pmatrix} m \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \, \cosh{\alpha} \\ m \, \sinh{\alpha} \, \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix} \] Im masselosen Grenzfall muss dieser Vektor gegen \[ \begin{pmatrix} p^0 \\ p^0 \, \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix} \] gehen. Das bedeutet, dass für festes \(p^{0}\) die Rapidität \(\alpha\) gegen Unendlich gehen muss, denn damit gehen \( \cosh{\alpha}\) und \( \sinh{\alpha} \) beide gegen \( e^{\alpha} / 2 \). Damit haben wir \( m \, e^{\alpha} / 2 = p^{0} \) für \(m\) gegen Null, oder etwas umgestellt: \[ m \, e^{\alpha} \, \rightarrow \, 2 p^{0} \] für \(m\) gegen Null.
Für \(s = 1/2\) haben wir zwei Möglichkeiten für die Darstellungsmatrizen \(D(g)\) und damit auch für die Darstellungsmatrix des Boosts:
Um den divergierenden Term
\( e^{\alpha/2} \)
in diesen beiden Fällen zu neutralisieren, können wir
\[
N_m = \sqrt{m}
\]
wählen,
denn dann ist
\[
N_m \, g(p^{0} (1,\boldsymbol{e}_{3})) =
\]
\[ =
\begin{pmatrix}
\sqrt{m} \, e^{\alpha/2} & 0 \\
0 & \sqrt{m} \, e^{- \alpha/2}
\end{pmatrix}
\, \rightarrow
\]
\[
\rightarrow \,
\begin{pmatrix}
\sqrt{2p^{0}} & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
N_m \, [g(p^{0} (1,\boldsymbol{e}_{3}))^{+}]^{-1} =
\]
\[ =
\begin{pmatrix}
\sqrt{m} \, e^{- \alpha/2} & 0 \\
0 & \sqrt{m} \, e^{\alpha/2}
\end{pmatrix}
\, \rightarrow
\]
\[
\rightarrow \,
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & \sqrt{2p^{0}}
\end{pmatrix}
\]
In der Formel oben, die das Feld \(H\) und die Impulsamplitude \(h\) miteinander verbindet, wird
nur die Spalte Nummer \(\sigma\) der Boostmatrix benötigt, denn dort steht der Term
\[
D^{s}_{m_{s}' \sigma} (g(p^{0} (1,\boldsymbol{e}_{3})))
\]
Dabei steht die Helizität \(\sigma = 1/2\) für die erste Spalte und
\(\sigma = - 1/2\) für die zweite Spalte.
Wenn wir also die erste Fundamentaldarstellung wählen, so ist nur die erste Spalte der Boostmatrix ungleich Null, entsprechend der Helizität \(\sigma = 1/2\).
Wenn wir dagegen die zweite Fundamentaldarstellung wählen, so ist nur die zweite Spalte der Boostmatrix ungleich Null, entsprechend der Helizität \(\sigma = - 1/2\).
Die Felddefinition nach der obigen Formel macht daher nur Sinn, wenn wir für \(\sigma = 1/2\) die erste Fundamentaldarstellung und für \(\sigma = - 1/2\) die zweite Fundamentaldarstellung für die Feldtransformationsmatrix \(D(g)\) und damit auch für die Boostmatrix verwenden. Die Helizität legt damit das Transformationsverhalten des Feldes eindeutig fest. Im massiven Fall war das anders: dort konnten wir uns wahlweise für die erste oder zweite Fundamentaldarstellung entscheiden, wobei die beiden Felder aber voneinander abhängig waren.
Nennen wir das Feld \(H\), das sich nach der ersten Fundamentaldarstellung transformiert und zu \(\sigma = 1/2\) gehört, \(\xi_{+}(p)\) analog zu oben. Das andere Feld nennen wir entsprechend \(\eta_{+}(p)\). Unsere Felddefinition lautet dann also in Matrixschreibweise:
|
\[
\xi_{+}(p) =
\]
\[
= \sqrt{m} \,
h^{1/2}(\boldsymbol{p}) \,
D(u(\boldsymbol{w})) \,
\begin{pmatrix}
e^{\alpha/2} \\
0
\end{pmatrix} =
\]
\[
=
h^{1/2}(\boldsymbol{p}) \,
u(\boldsymbol{w}) \, \sqrt{2p^{0}} \,
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
\[ \eta_{+}(p) = \] \[ = \sqrt{m} \, h^{-1/2}(\boldsymbol{p}) \, D(u(\boldsymbol{w})) \, \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\alpha/2} \end{pmatrix} = \] \[ = h^{-1/2}(\boldsymbol{p}) \, u(\boldsymbol{w}) \, \sqrt{2p^{0}} \, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] |
Das ist also der gesuchte Zusammenhang zwischen den beiden Feldern und der Impulsamplitude zur passenden Helizität. Man kann nachrechnen, dass genau so die allgemeinen Lösungen der Weyl-Gleichungen aussehen müssen.
Zum Skalarprodukt im masselosen Fall: Für Diracspinoren \( \psi(x) = (\xi(x), \eta(x)) \) hatten wir oben das Skalarprodukt \[ \langle\psi'|\psi\rangle = \int_{t=0} d^{3}x \, \psi'^{+}(x) \, \psi(x) \] angegeben. Darin können wir \[ \psi'^{+}(x) \, \psi(x) = \xi'^{+}(x) \, \xi(x) + \eta'^{+}(x) \eta(x) \] schreiben. Da im masselosen Grenzfall die beiden Felder \(\xi(x)\) und \(\eta(x)\) unabhängig voneinander sind, liegt es nahe, für die Felder zwei getrennte Skalarprodukte zu definieren, wobei wir uns auf positive Energien beschränken. Betrachten wir nur das Feld \(\xi_{+}(x)\) und definieren:
| \[ \langle\xi_{+}'|\xi_{+}\rangle := \int_{t=0} d^{3}x \, {\xi'_{+}}^{+}(x) \, \xi_{+}(x) \] |
Einsetzen der Fourierintegrale liefert (Rechnung vollkommen analog zum Fall mit den Diracspinoren oben bis zur Zeile vor dem Ausmultiplizieren): \[ \langle\xi_{+}'|\xi_{+}\rangle = \] \[ = \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \frac{1}{|2p^{0}|} \, {\xi'_{+}}^{+}(\boldsymbol{p}) \, \xi_{+}(\boldsymbol{p}) = \, ... \] Hier können wir nun das Feld durch die Impulsamplitude ausdrücken: \[ ... \, = \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, \frac{1}{|2p^{0}|} \, \cdot \] \[ \cdot \, [h'^{1/2}(\boldsymbol{p})]^{*} \, (1, 0) \, u(\boldsymbol{w})^{+} \, \sqrt{2p^{0}} \, \cdot \] \[ \cdot \, h^{1/2}(\boldsymbol{p}) \, u(\boldsymbol{w}) \, \sqrt{2p^{0}} \, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \] \[ = \int \frac{d^{3}p}{|2p^{0}|} \, [h'^{1/2}(\boldsymbol{p})]^{*} \, h^{1/2}(\boldsymbol{p}) \] Genau so muss das Skalarprodukt aussehen, wenn wir es durch die Impulsamplituden ausdrücken (vergleiche die entsprechende Formel in Kapitel 4.10, wobei wir hier \(h\) statt \(f\) verwenden und die Summe über \(\sigma\) wegfällt, da die Helizität \(\sigma = 1/2\) ja festliegt). Unsere Definition des Skalarproduktes über das Feld \(\xi\) war also konsistent.
Natürlich könnte man nun noch weitergehen und negative Energien im masselosen Grenzfall betrachten. Analog zu oben ist dabei wieder die Substitution \( k = - p \) notwendig, um zu positiven Energien zu gelangen. Da sich dabei auch der räumliche Impuls umdreht, verwundert es nicht, dass negative Energien mit der entgegengesetzten Helizität zusammenhängen. Das sieht man auch am Fall mit Masse größer Null: Oben mussten wir aus \(\xi\) das Feld \( \epsilon \, \xi^{*} \) machen, um negative Energien mit Impulsamplituden zusammenzubringen. Das Feld \( \epsilon \, \xi^{*} \) transformiert sich aber wie das Feld \(\eta\), das im masselosen Grenzfall zur entgegengesetzten Helizität gehört. Wir wollen das hier nicht weiter verfolgen.
Halten wir als Ergebnis fest: Bei Spin 1/2 kann man auch im masselosen Grenzfall zu Feldern übergehen, wobei man allerdings für Helizität 1/2 ein Feld benötigt, das sich nach der ersten Fundamentaldarstellung transformiert, und für Helizität -1/2 ein anderes Feld benötigt, das sich nach der zweiten Fundamentaldarstellung transformiert. Dies ergibt sich auch zwanglos aus dem masselosen Grenzfall der Diracgleichung (der Weyl-Gleichung).
Wir hatten oben bereits gesehen, dass wir \(\gamma(p)\) als ein Element der Clifford-Algebra der Raumzeit ansehen können mit der universellen Eigenschaft \[ \gamma(p) \, \gamma(q) = g(p,q) \] mit der Minkowski-Metrik \( g(p,q) = p^{\mu} q_{\mu} \). Außerdem hatten wir oben die Formel für die Spin-Gruppe gesehen: \[ \gamma(\Lambda p) = S \, \gamma(p) \, S^{-1} \] Details dazu siehe Kapitel 4.11.
Man kann versuchen, die Diracgleichung allein im Rahmen der Clifford-Algebren oder der dazu gleichwertigen Geometrischen Algebra anschaulich zu verstehen, ohne Bezug zu einer konkreten Matrixdarstellung zu nehmen. Dabei wird der Diracspinor \(\psi\) darstellungsfrei (also ohne Matrixdarstellung für die \gamma-Matrizen) nur mit den Mitteln der Clifford-Algebra formuliert – man spricht dann von einem algebraischen Spinor, wobei der Begriff minimal left ideals eine Rolle spielt. Es würde zu weit führen, hier im Detail darauf einzugehen.
Freuen wir uns stattdessen im nächsten Kapitel auf Felder für Spin 1, bei denen es anders als bei Spin 0 oder 1/2 zu Komplikationen kommt. Wie aus dem Nichts taucht plötzlich der Begriff der Eichtransformation auf, alleine aufgrund unserer allgemeinen Betrachtungen über die Raum-Zeit-Symmetrie.
© Jörg Resag, www.joerg-resag.de
last modified on 24 August 2023
