Kapitel 1
Einleitung

Unter den sieben Millenium Prize Problems des Clay Mathematics Institute ist eines, das sowohl für Mathematiker als auch für Physiker von sehr großem Interesse ist: die Yang-Mills-Theorie (auch Eichtheorie genannt), und zwar in ihrer quantentheoretischen Ausprägung. Wer es schafft, die mathematische Existenz einer solchen Theorie zu beweisen, bekommt eine Million US-Dollar als Preisgeld.

Worum geht es?

Man glaubt heute, dass eine grundlegende mathematische Beschreibung der physikalischen Naturgesetze im Rahmen von relativistischen Quantenfeldtheorien erfolgen muss. Das sind Theorien, die sowohl die Regeln der Quantentheorie als auch die Regeln der speziellen Relativitätstheorie gleichermaßen beinhalten, was zu einer bestimmten mathematischen Struktur führt, die jede solche Theorie besitzen muss. Sowohl Quantentheorie als auch Relativitätstheorie gehören seit dem ersten Drittel des zwanzigsten Jahrhunderts zu den grundlegenden Rahmengesetzen, in die sich nach heutigem Wissen jede Theorie der Naturgesetze einfügen muss. Jede grundlegende physikalische Theorie muss also eine relativistische Quantenfeldtheorie sein.

Was sind nun die besagten Eichfelder, und was ist eine Eichtheorie (also eine Yang-Mills-Theorie)?

Letztlich handelt es sich darum, aufgrund von gewissen Symmetrieforderungen die Dynamik der Theorie zu erraten. Was das genau bedeutet, werden wir erst später verstehen können. Das Kochrezept, das man dabei verfolgt, ist in etwa folgendes:

• Wir versuchen, eine klassiche Feldtheorie nach dem Vorbild der Elektrodynamik zu konstruieren. Es geht also um Felder analog zum elektrischen und magnetischen Feld der Elektrodynamik. Die Feldgleichungen dieser Theorie sollen aus einem Variationsprinzip folgen, d.h. man fordert, dass ein gewisses noch festzulegendes Wirkungsfunktional der Felder seinen minimalen Wert gerade für die Felder annimmt, die physikalisch vorkommen können. Diese Felder erfüllen dann bestimmte Differentialgleichungen (analog zu den Maxwellgleichungen). Das Wirkungsfunktional legt also die Dynamik – also die Feldgleichungen – der Feldtheorie fest.

• Wähle eine natürliche Zahl \(n\) und bezeichne die Gruppe \(\mathrm{SU}(n)\) als Eichgruppe der Theorie. Diese Gruppe soll nun die Felder der Theorie verändern können, d.h. die Zahl der Felder wird über die Wahl von \(n\) festgelegt (ist aber meist nicht gleich \(n\)). Das Wirkungsfunktional und damit die Dynamik der Feldtheorie versuchen wir nun durch eine Reihe von Forderungen zu erraten. So soll sich das Wirkungsfuntional nicht ändern, wenn wir über die Eichgruppe die Felder verändern. Ebenso soll es sich nicht verändern, wenn wir das Bezugssystem in Raum und Zeit nach den Regeln der speziellen Relativitätstheorie wechseln. Und schließlich lassen wir nur bestimmte Terme im Wirkungsfunktional zu, um später die sogenannte Renormierbarkeit der zugehörigen Quantenfeldtheorie sicherzustellen.

• Konstruiere nun eine dazu passende relativistische Quantenfeldtheorie, die im klassichen Grenzfall in die gerade konstruierte klassische Feldtheorie übergeht. Dieser letzte Punkt ist das eigentliche Problem: Es geht darum, zu beweisen, dass man eine solche relativistische Quantenfeldtheorie überhaupt konstruieren kann!

Warum verfolgt man eigentlich dieses Konzept? Weil es sich als sehr erfolgreich herausgestellt hat! Man kann auf diese Weise die elektromagnetischen Kräfte genauso wie die sogenannte schwache und starke Wechselwirkung theoretisch mit sehr hoher Präzision beschreiben. Die gesamte experimentell zugängliche Physik mit Ausnahme der Gravitation passt in diesen Rahmen! Dabei kommt allerdings noch ein weiterer Mechanismus hinzu, den wir oben verschwiegen haben: die spontane Symmetriebrechung.

Für das Millenium Prize Problem wurde der Rahmen etwas vereinfacht: Es werden reine Eichtheorien betrachtet, d.h. Felder für Fermionen wie Quarks oder Elektronen sowie symmetriebrechende Felder wie das Higgs-Feld werden weggelassen. Eine solche Theorie wäre die Elektrodynamik ohne elektrisch geladene Teilchen (also die Theorie der elektromagnetischen Wellen im ansonsten leeren Raum) oder die Quantenchromodynamik ohne Quarks (also die Theorie der Gluonen und Gluebälle).

Es ist nicht ganz einfach, in einem Webbuch zu erklären, was eine relativistische Eich-Quantenfeldtheorie ist. Geht man zu sehr ins Detail, kann man schnell ganze Bücher füllen. Umgekehrt darf man auch nicht zu sehr vereinfachen, da man sonst keine Chance hat, zu verstehen, worum es geht. Ich will versuchen, hier einen geeigneten Mittelweg einzuschlagen, wobei ich an mehreren Stellen auf andere Texte verweisen möchte, in denen ich entweder mehr ins Detail gehe, oder in denen ich versuche, das Thema mit weniger Mathematik und mehr anschaulichen Bildern anzugehen. Allerdings fand ich ein einziges Kapitel im Webbuch Die Grenzen der Berechenbarkeit, wo ich das Thema ursprünglich als Millenium Problem unterbringen wollte, doch etwas zu knapp. Daher gibt es zu diesem Thema hier ein ganzes Webbuch, in dem ich versuche, die einzelnen Bausteine zusammenzutragen und am Schluss zu einem Gesamtgebilde zu vereinen. Im Inhaltsverzeichnis zu Die Grenzen der Berechenbarkeit habe ich als Kapitel 5.4 jetzt nur noch einen entsprechenden Link eingefügt.