Kapitel 2
Seltsame Quantenwelt

4  Das Plancksche Wirkungsquantum

Zusammenfassung des Buchkapitels:

In der Quantenmechanik sind Teilcheneigenschaften mit Welleneigenschaften verknüpft. So ist die Wellenlänge \( \lambda \) mit der Teilchengeschwindigkeit \(v\) oder allgemeiner mit dem Teilchenimpuls \(p\) verknüpft: Je größer die Teilchengeschwindigkeit bzw. der Teilchenimpuls ist, umso kürzer ist die Wellenlänge. Der Umrechnungsfaktor ist eine Naturkonstante und trägt den Namen Plancksches Wirkungsquantum oder auch Planck-Konstante, abgekürzt mit dem Buchstaben \[ h \] (was ursprünglich für "hilf" stand, denn Max Planck hatte diese Größe zunächst als reine Hilfsgröße angesehen, die er eigentlich gerne wieder loswerden wollte).

In den Einheiten Angström (A) und der Masseneinheit MeV/c² hat \(h\) den Wert \[ h = 3717 \, \mathrm{A} \, \frac{\mathrm{MeV}}{c^{2}} \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} \] Hier ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit und die Energieeinheit MeV steht für Mega-Elektronenvolt (\(10^{6}\) eV). Die Fortbewegung eines Teilchens mit einer Masse von einem MeV/c² und einer Geschwindigkeit von einem Kilometer pro Sekunde würde demnach durch eine ebene Welle beschrieben, deren Wellenlänge 3717 Angström beträgt.

Oft teilt man auch noch durch 2 mal Pi und schreibt \[ \hbar = \frac{h}{2 \pi} \] (sprich: "h-quer"). Nützlich ist das oft auftretende Produkt \[ \hbar c \approx 200 \, \mathrm{MeV} \, \mathrm{fm} \] (genauer sind es \(197,3\) MeV fm). Dabei steht fm für die Längeneinheit Fermi = \(10^{- 15}\) Meter.

Allgemein (auch relativistisch) gilt: \[ \lambda = \frac{h}{p} \] \[ T = \frac{h}{E} \] d.h. die Wellenlänge \(\lambda\) ist antiproportional zum Teilchenimpuls \(p\) mit dem Planckschen Wirkungsquantum \(h\) als Umrechnungsfaktor, und analog ist die Zeitdauer (Periodendauer) \(T\) an einem Ort für den Durchgang einer Wellenlänge antiproportional zur Teilchenenergie \(E\). Da \[ \frac{1}{T} = f \] die Frequenz \(f\) ist, ergibt sich so die bekannte Beziehung \[ E = h f \] Die obigen Beziehungen gelten auch für sehr schnelle Teilchen und sogar für masselose Teilchen wie beispielsweise Photonen. Bei Teilchengeschwindigkeiten \(v\) weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit \(c\) ist \[ p = m v \] und somit \[ \lambda = \frac{h}{m v} \] Wir sehen hier ein allgemeines Prinzip:

• Immer wenn neue physikalische Erkenntnisse dazu führen, dass zwei vorher getrennte physikalische Teilgebiete nun miteinander in Beziehung gesetzt werden können, so gibt es eine neue physikalische Naturkonstante, die die Umrechnung der Größen aus dem einen Teilgebiet in das andere Teilgebiet erlaubt. In der Quantentheorie ist dies das Plancksche Wirkungsquantum \(h\), in der speziellen Relativitätstheorie die Lichtgeschwindigkeit \(c\) und in der allgemeinen Relativitätstheorie (Gravitation) die Gravitationskonstante \(G\).

Zusatzinformationen:

a) Weitere Infos zum Welle-Teilchen-Zusammenhang

a) Weitere Infos zum Welle-Teilchen-Zusammenhang

Meist findet man für \(h\) den Wert \[ h = 6,626 \, 069 \cdot 10^{- 34} \, \mathrm{J} \, \mathrm{s} \] den man mit Hilfe der Elementarladung \[ e = 1,602 \, 176 \cdot 10^{- 19} \, \mathrm{C} \] und der Lichtgeschwindigkeit \[ c = 299 \, 792 \, 458 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \] sowie der Einheit Angström \[ 1 \, \mathrm{A} = 10^{- 10} \, \mathrm{m} \] entsprechend umrechnen kann.

Was ist der Impuls eines Teilchens? In Kapitel 1.4 ist er uns bereits als gespeicherter Kraftstoß oder Schwung begegnet. Ausführlicher erläutert finden Sie diesen Begriff in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 2.1 und Kapitel 2.2.

Hier noch einige weiterführende Infos:

In der allgemeinen (auch relativistisch korrekten) Form kann man den obigen Zusammenhang zwischen Teilchen- und Welleneigenschaften in der einfachen Formel \[ p = \hbar k \] zusammenfassen. Dabei ist \(p\) hier der relativistische Viererimpuls (im Buchkapitel-Text weiter oben war \(p\) noch der Betrag des räumlichen Impulsvektors \(\boldsymbol{p}\); leider ist die hier übliche Schreibweise manchmal doppeldeutig) und \(k\) ist der relativistische Wellenzahl-Vierervektor.

Das bedeutet, dass der Viererimpul \(p\) vier Komponenten hat, nämlich als nullte Komponente die relativistische Gesamtenergie \(E\) (geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit \(c\)) sowie die 3 räumlichen Komponenten des Impulsvektors \(\boldsymbol{p}\) (fett gedruckt): \[ p = \begin{pmatrix} E/c \\ \boldsymbol{p} \end{pmatrix} \] (mehr dazu in den Zusatzinformationen zu Kapitel 3.2).

Analog sind die vier Komponenten des Vierer-Wellenvektors \(k\) gegeben durch \[ k = \begin{pmatrix} \omega/c \\ \boldsymbol{k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2 \pi f}{c} \\ \frac{2 \pi}{\lambda} \, \boldsymbol{e} \end{pmatrix} \] mit der Kreisfrequenz \[ \omega = 2 \pi f \] und den 3 räumlichen Komponenten des Wellenzahlvektors \[ \boldsymbol{k} = \frac{2 \pi}{\lambda} \, \boldsymbol{e} \] mit der Wellenlänge \(\lambda\) und dem Einheitsvektor \( \boldsymbol{e} \), der in die Richtung der Wellenbewegung zeigt.

Die Gleichung \( p = \hbar k \) ergibt dann die beiden Gleichungen \[ E = \hbar \omega = h f \] \[ \boldsymbol{p} = \hbar \boldsymbol{k} = \frac{h}{\lambda} \, \boldsymbol{e} \] Die erste Gleichung \( E = h f \) kennt man meist von Licht her, d.h. sie gibt die Energie von Photonen an, die zu einer Lichtwelle der Frequenz \(f\) gehören (siehe Kapitel 2.2 Licht besteht aus Teilchen). Die Formel gilt aber auch ganz allgemein für beliebige Teilchen.

Die zweite Gleichung sagt in ihrer obigen Vektorform zunächst, dass der Teilchenimpuls in Richtung der Wellenbewegung zeigt. Schaut man auf die Längen der Vektoren, so ergibt sie \[ |\boldsymbol{p}| = \frac{h}{\lambda} \] oder umgestellt \[ \lambda = \frac{h}{|\boldsymbol{p}|} \] Das ist genau die Gleichung aus dem Buchkapitel-Text oben, wobei wir oben \(p\) statt \(|\boldsymbol{p}|\) geschrieben hatten.

Die obigen Gleichungen machen eines klar:

In der Quantentheorie sind Energie und Impuls die zentralen Größen, da sie mit der Frequenz und der Wellenlänge von Quantenwellen zusammenhängen.

Der Begriff der Kraft spielt dagegen keine zentrale Rolle mehr, da auch der Begriff der Bahnkurve eines Teilchens wegfällt. Stattdessen dreht sich nun alles darum, wie sich Frequenz und Wellenlänge einer Quantenwelle verändern und damit die möglichen Energien und Impulse.

Die ebene Welle zum Viererimpuls \( p = \hbar k \) kann man (bis auf den Normierungsfaktor) einfach schreiben als \[ e^{-i kx} = \] \[ = e^{-i \, (\omega t - \boldsymbol{kx})} = \] \[ = e^{-\frac{i}{\hbar} \, (Et - \boldsymbol{px})} = \] \[ = e^{-\frac{i}{\hbar} px} = \] (siehe auch die Zusatzinformationen in Kapitel 2.3 zur ebenen Welle). Das Produkt \( k x \) zwischen den beiden Vierervektoren \(k\) und dem Raumzeit-Vektor \[ \begin{pmatrix} ct \\ \boldsymbol{x} \end{pmatrix} \] mit der Zeit \(t\) und dem Ort \(\boldsymbol{x}\) ist dabei definiert durch \[ kx := \omega t - \boldsymbol{kx} \] Details siehe auch Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.3 Die Quantentheorie: Freie Teilchen.

Hier zeigt sich der Vorteil von Vierervektoren: Das Produkt \( k x \) (von mir auch oft als \(g(k,x)\) geschrieben) hat in jedem gleichförmig bewegten Bezugssystem in der speziellen Relativitätstheorie denselben Wert, auch wenn die Vektorkomponenten vom Bezugssystem abhängen. Mehr zum Thema Vierervektoren in den Zusatzinformationen zu Kapitel 3.2: Die spezielle Relativitätstheorie und den dort angegebenen Links.

Umgekehrt gilt:

Da die Phase einer Welle nicht vom Bezugssystem abhängen darf, muss \[ k x = \omega t - \boldsymbol{kx} \] unabhängig vom Bezugssystem sein. Ein Wellenberg muss ein Wellenberg bleiben, egal, ob wir ihn aus einem fahrenden Zug heraus betrachten oder nicht. Daher muss \( k = (\omega/c, \boldsymbol{k}) \) ein Vierervektor sein, also wie der Viererimpuls \( p = (E/c, \boldsymbol{p}) \) beim Wechsel des Bezugssystems mit der Lorentzmatrix \(\Lambda\) umgerechnet werden. Nur deshalb macht die Gleichung \( p = \hbar k \) überhaupt Sinn, denn \(p\) und \(k\) sind beides Vierervektoren, so dass diese Gleichung in jedem gleichförmig bewegten Bezugssystem gilt.