Kapitel 4
Teilchenzoo, Quarks und Wechselwirkungen

3  Die starke Wechselwirkung

Zusammenfassung des Buchkapitels:

Die starke Wechselwirkung ist nach der Gravition, der elektromagnetischen und der schwachen Wechselwirkung die vierte fundamentale Kraft zwischen den Bausteinen der Materie. Alle sechs Quarks werden durch sie beeinflusst, im Gegensatz zu den sechs Leptonen, die nichts von der Existenz der starken Wechselwirkung bemerken.

Ein Nebenprodukt der starken Wechselwirkung ist die starke Kernkraft, die zwischen den Hadronen wirkt und die die Nukleonen im Atomkern zusammenhält. Somit ist die starke Kernkraft keine unabhängige Wechselwirkung.

Eine detailliertere Beschreibung der starken Wechselwirkung kann nur mit den Mitteln der Quantenfeldtheorie erfolgen (mehr dazu später). In vereinfachten Modellrechnungen ergibt sich ungefähr eine abstandsunabhängige konstante Kraft, die die Quarks daran hindert, zu entweichen (Confinement).

So wie die elektromagnetische Wechselwirkung auf elektrische Ladungen wirkt, so wirkt die starke Wechselwirkung auf sogenannte starke Ladungen (auch Farbladungen genannt). Um den Zusammenschluss von drei Quarks zu Baryonen zu erklären, benötigt man drei starke Ladungsarten, die wir rot, gelb und blau nennen wollen. Diese sind das Gegenstück zu den positiven und negativen elektrischen Ladungen.

Ein Quark kann also eine rote, gelbe oder blaue starke Ladung tragen. Welche Ladung trägt dann das entsprechende Antiquark? Das folgende Bild gibt dazu eine Antwort:

Die Ladung Antigelb ergibt sich in dem Bild durch Spiegelung am Ursprung und käme damit bei 6 Uhr zu liegen. Man kann daher Antigelb auch als rot-blau oder violett bezeichnen.

Die starke Wechselwirkung soll nun gerade zwischen Quark und Antiquark oder zwischen drei Quarks anziehend wirken. Dies können wir durch die folgende Forderung erreichen:

• Quarks und Antiquarks können sich nur dann zu Hadronen vereinigen, wenn sich ihre Farbladungen gegenseitig neutralisieren.

Um in unserer Farbsprache zu bleiben: die einzelnen Farben müssen sich gegenseitig zu weiß addieren. Das funktioniert bei drei Quarks (rot, gelb und blau) oder bei einem Quark-Antiquark-Paar (z.B. rot plus Antirot), nicht aber beispielsweise bei zwei Quarks.

Es wird nun auch klar, warum die starke Kernkraft zwischen den Nukleonen im Atomkern mit zunehmendem Abstand so schnell abnimmt. Aus der Ferne betrachtet verschmelzen die Quarks im Inneren gleichsam miteinander, und das Hadron erscheint als ein Objekt mit weißer Farbladung, entsprechend einer verschwindenden starken Ladung.

Für die starke Wechselwirkung gilt das Superpositionsprinzip nicht. Auch die starken Kraftfelder tragen starke Farbladungen. Man kann sich vorstellen, dass sich die Farbladung eines Quarks in einem Hadron aufgrund der Wechselwirkung ständig verändert. Die Farbladungen werden durch das starke Kraftfeld hin- und hertransportiert. Genauer müsste man sagen: Es gibt eine Farb-Wellenfunktion, die die Wahrscheinlichkeiten dafür angibt, für die Quarks eines Hadrons eine bestimmte Farbkombination zu finden (analog zum Ort eines Elektrons in einer Atomhülle). Hier sind die Farbwellenfunktionen für Baryonen und Mesonen (mehr dazu unten in den Zusatzinfos):

Dabei steht \(q\) für das Quark, \(\bar{q}\) für das Antiquark. Die Buchstaben r, g und b stehen für die Farbladungen Rot, Gelb und Blau (bzw. bei den Mesonen in der zweiten Spalte für Antirot etc.). Wir sehen, daß für alle möglichen Farbladungskombinationen der entsprechende Wellenfunktionspfeil gleich lang ist, was letztlich insgesamt ein weißes Hadron ergibt.

Was geschieht nun, wenn wir versuchen, beispielsweise das Quark und das Antiquark eines Mesons auseinanderzuziehen? Das folgende Bild zeigt das Resultat:

Errata:

1. Auflage S. 108 unten: Die Ladungseinheit muss natürlich \( \mathrm{m} \, \sqrt{\mathrm{N}} \) und nicht \( \sqrt{(\mathrm{Nm})} \) lauten. Wurde in der zweiten Auflage korrigiert.

Zusatzinformationen:

a) Farbladungen und die Gruppe SU(3)

a) Farbladungen und die Gruppe SU(3)

(hauptsächlich für Leser mit mathematischem und physikalischem Vorwissen gedacht, da das Thema nicht ganz einfach ist)

Oben haben wir gesehen, dass Quarks eine starke Ladung (Farbladung) tragen, auf die die starke Wechselwirkung wirkt (so wie die elektromagnetische Wechselwirkung auf elektrische Ladungen wirkt). Diese Ladung kann drei Werte annehmen, die wir rot, gelb und blau genannt haben. Hintergrund ist, dass sich diese drei Ladungen gegenseitig neutralisieren können, so wie sich die drei Farben für unser Auge zu weiß addieren. Entsprechend hatten wir die drei Ladungen wie die Grundfarben in einem Farbkreis oder Dreieck angeordnet (siehe Grafik oben). Die Ladungen der Antiteilchen ergeben sich dann durch Spiegelung am Ursprung, d.h. antirot entspricht gelb-blau (im Farbkreis also der Komplementärfarbe grün).

Nun ist dieses Farb-Analogon zwar sehr hilfreich, aber es erfasst nicht alle Aspekte der Farbladung. Insbesondere sind Quarks zusammen mit ihrer Farbladung immer in Hadronen eingesperrt, so dass es kein weit hinausreichendes Farb-Kraftfeld gibt (anders als das elektrische Feld). Während die elektrische Ladung eines Teilchens immer bekannt ist (da sein elektrisches Feld sie der Umgebung ständig bekannt gibt), ist die Farbladung eines Quarks eine quantenmechanische Größe, analog zu seinem Ort oder Impuls. Es gibt für ein einzelnes Quark also drei Wahrscheinlichkeitsamplituden (Pfeile oder Zeiger), deren Längenquadrat jeweils für die Wahrscheinlichkeit steht, bei ihm die entsprechende Farbladung zu messen. Entsprechend haben wir für ein Quark also eine Farb-Wellenfunktionstabelle mit drei Zeilen.

Mathematisch kann man jede Farbladungs-Wahrscheinlichkeitsamplitude als komplexe Zahl schreiben. Zusätzlich fassen wir die drei Farbladungs-Amplituden eines Quarks zu einem dreidimensionalen Vektor zusammen, d.h. wir schreiben \[ \psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{pmatrix} \] Dieser Vektor steht für die Farb-Wellenfunktionstabelle, und der Index steht für die jeweilige Farbladung, also z.B. rot=1, gelb=2, blau=3. Die Wahrscheinlichkeit, die Farbladung rot bei dem Quark vorzufinden, ist also gleich \( |\psi_{1}|^{2} \). Da die drei \( \psi_{i} \) (mit \(i = 1, 2, 3\)) alle aus der Menge \( \mathbb{C} \) der komplexen Zahlen sind, schreibt man auch gerne, dass \(\psi\) Element des Vektorraums \( \mathbb{C}^3 \) ist.

Wenn bei einem bestimmten Quark die Wahrscheinlichkeit für rot beispielsweise bei 20% liegt und die für blau bei 35%, so muss die Wahrscheinlichkeit für gelb bei 45% liegen, denn irgendeine beliebige der drei Farbladungen wird man garantiert finden. Es gilt also \[ |\psi_{1}|^{2} + |\psi_{2}|^{2} + |\psi_{3}|^{2} = 1 \] Wir schreiben diese Gleichung in der Kurzform \[ |\psi|^{2} = 1 \] Die Wahl der Farbladungen und Indizes ist vollkommen willkürlich. Die Farbladung rot ist nicht besser als die Farbladung gelb oder blau. Das ist ähnlich wie bei Spins in einem rotationssymmetrischen System: Es muss egal sein, bezüglich welcher Raumachse man die Spinkomponente angibt, d.h. es muss passende Umrechnungsformeln für die Wahrscheinlichkeitsamplituden geben, wenn man die Bezugsachse wechselt, und diese Umrechnungsformeln müssen so arbeiten, dass rotationssymmetrische Beobachtungsgrößen (z.B. die Energieniveaus) unverändert bleiben.

Analog soll es hier egal sein, welche Farbachsen man im Farb-Vektorraum \( \mathbb{C}^3 \) eines Quarks wählt, um ihnen eine Farbladung zuzuordnen. Die starke Wechselwirkung sollte keine bestimmte Farbladung bevorzugen. Wie müsste man nun vorgehen, um irgendeine kontinuierliche Veränderung der Farbachsen zu beschreiben, bezüglich der wir die Farbladungs-Wellenfunktion eines Quarks angeben? Wir wollen eine solche Veränderung zunächst ganz allgemein durch einen Operator \(U\) beschreiben, der aus einem Farbwellenfunktions-Vektor \(\psi\) einen anderen Vektor \(\psi'\) macht, wobei wir uns die Komponenten von \(\psi'\) als die Wahrscheinlichkeitsamplituden bezüglich der veränderten Farbachsen vorstellen können: \[ \psi' = U \, \psi \] Zudem soll \( U \) kontinuierlich von einigen reellen Veränderungsparametern abhängen, so dass man mit diesen Parametern die Stärke der Veränderung gleichsam steuern kann (so wie man die Stärke einer Drehung über den Drehwinkel steuert).

Wir wollen nun fordern, dass die Veränderung durch \(U\) die Interferenz von Amplituden nicht ändert (so etwas wäre ja ansonsten evtl. messbar, aber \(U\) soll ja nur die nicht-messbare Farbladungsachsen-Konventions-Willkür darstellen). Man kann also entweder die Amplituden zweier ununterscheidbarer Möglichkeiten zuerst zu einer Gesamtamplitude addieren und diese dann bezüglich veränderter Farbachsen betrachten, oder zuerst die Amplituden der beiden Möglichkeiten bezüglich veränderter Farbachsen betrachten und diese dann addieren: \[ U \, (\psi + \psi') = U \, \psi + U \, \psi' \] Man sagt auch, \(U\) ist additiv. Damit bleibt die Option erhalten, einen Gesamtprozess weiterhin nach Belieben in mehrere ununterscheidbare Alternativprozesse aufzuteilen und die zugehörigen Amplituden einzeln mit \(U\) auf neue Farbachsen umzurechnen, ohne dass diese Aufteilung die Gesamtwirkung von \(U\) verändert.

Wenn \(U\) nur das Bezugssystem im Farbladungsraum verändern soll, so muss nach der Veränderung immer noch die Wahrscheinlichkeit gleich Eins (100%) sein, eine beliebige der drei Farbladungen beim Quark vorzufinden. Die drei neuen Amplitudenquadrate müssen also zusammen wieder 1 ergeben: \[ |\psi'|^{2} = |U \, \psi|^{2} = 1 \] Man sagt auch, U ist Norm-erhaltend. Aus der Additivität und der Normerhaltung kann man folgern, dass \(U\) ein unitärer oder anti-unitärer Operator ist. Das nennt man auch den Satz von Wigner (Wigner-Theorem).

Da bei uns \(U\) stetig von reellen Parametern abhängen soll und für bestimmte Parameter auch \(U = 1\)) gelten soll (wenn wir nämlich einfach die alten Farbladungsachsen beibehalten), können wir antiunitäre Operatoren ausschließen, d.h. \(U\) ist unitär (also linear und Norm-erhaltend) und damit durch eine unitäre Matrix darstellbar.

Ein unitäres \(U\) entspricht genau der Umrechnung eines Farbladungsvektors aus dem Farbraum \( \mathbb{C}^3 \) von einer Orthonormalbasis auf eine andere Orthonormalbasis. Mehr zu diesem Thema finden Sie auch in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.6 Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie.

Die komplexe 3-mal-3-Matrix \(U\) erfüllt nun als unitäre Matrix die Bedingung \[ U^{+} U = U \, U^{+} = 1 \] wobei \(1\) hier die 3-mal-3-Einhaitsmatrix \(U^{+}\) die transponierte komplex konjugierte Matrix ist: \[ (U^{+})_{ij} = U^{*}_{ji} \] Diese Matrizen bilden bezüglich ihrer Multiplikation eine mathematische Gruppe, die man als \(U(3)\) bezeichnet. Für sie gilt \[ |\det{U}| = 1 \] d.h. ihre Determinante ist eine komplexe Zahl mit Betrag 1 (ein Phasenfaktor), also \[ \det{U} = e^{i \varphi} \] mit passendem reellen \( \varphi \).

Wir können nun diesen Phasenfaktor \( e^{i \varphi} \) gleichsam herausdividieren und uns die Matrix \[ U' := \frac{U}{\det{U}} \] ansehen. Die Matrix \(U'\) erfüllt \[ \det{U'} = 1 \] (jetzt ohne Betragsstriche!).

Solche Matrizen nennt man speziell unitär. Die entsprechende Gruppe heißt \(SU(3)\) (die speziell unitären 3-mal-3-Matrizen).

Man kann also jede unitäre Matrix \(U\) als Produkt einer speziell unitären Matrix \(U'\) und einem Phasenfaktor \( \det{U} = e^{i \varphi} \) schreiben: \[ U = U' \, e^{i \varphi} \] Solange wir alle Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren mit demselben \(U\) verändern, würde der Phasenfaktor \( e^{i \varphi} \) sie nur in gleicher Weise verdrehen, was sich physikalisch nicht auswirkt. In diesem Fall können wir den Phasenfaktor genauso gut weglassen und direkt mit speziell-unitären Matrizen arbeiten. In einem späteren Kapitel werden wir allerdings noch lokale Eichtransformationen kennenlernen, bei denen \(U\) und damit der Phasenfaktor von Zeit und Ort abhängt. Dann kann der Phasenfaktor nicht mehr einfach weggelassen werden.

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass alle Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren mit demselben \(U\) verändert werden, d.h. dass man an jedem Ort und zu jeder Zeit das Bezugssystem im Farbraum in gleicher Weise verändert. Wir können also von der Gruppe \(SU(3)\) ausgehen und damit die Einschränkung \( \det{U} = 1 \) hinzunehmen (statt \(U'\) schreiben wir jetzt wieder \(U\)). Zwischendurch werden wir uns dann immer wieder ansehen, was geschieht, wenn wir doch \(U(3)\) statt \(SU(3)\) genommen hätten.

Analog zu den Quarks kann man auch für ein Anitquark einen Farbwellenfunktions-Vektor einführen, den wir \[ \chi = \begin{pmatrix} \chi_1 \\ \chi_2 \\ \chi_3 \end{pmatrix} \] nennen wollen. Der Index steht hier für die Farbladungen antirot, antigelb und antiblau, und \(\chi_{1}\) ist dann die Wahrscheinlichkeitsamplitude, bei dem Antiquark die Farbladung antirot vorzufinden.

Wenn wir nun im Farbladungsraum gleichsam den Blickwinkel ändern und die Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren \(\psi\) entsprechend mit der \(SU(3)\)-Matrix \(U\) verändern, so müssen wir auch für die Anti-Farbladungen den Blickwinkel passend dazu mitändern – letztlich sollen sich Farbladung und Anti-Farbladung ja irgendwie kompensieren können, und wir brauchen beispielsweise für Mesonen ja Farbladungs-neutrale (weiße) Kombinationen.

Es stellt sich heraus, dass folgende Idee zum Ziel führt (die genaue Begründung folgt weiter unten): Wenn wir Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren \(\psi\) mit der Matrix \(U\) verändern, so müssen wir parallel dazu Antiquark-Farbwellenfunktions-Vektoren \(\chi\) mit der komplex konjugierten Matrix \(U^{*}\) verändern:

Transformation der Quark- und Antiquark-Farbladungs-Wellenfunktion: \[ \psi' = U \, \psi \] \[ \chi' = U^{*} \chi \]

Man kann es auch so ausdrücken: Wenn eine Änderung im Farbraum bei Quarks durch die Matrix \(U\) dargestellt wird, so wird sie bei Antiquarks durch die Matrix \(U^{*}\) dargestellt. \(U\) ist also die Darstellungsmatrix der Farbraum-Änderung bei Quarks, und \(U^{*}\) bei Antiquarks.

Dabei gehorchen \(U\) und \(U^{*}\) denselben Multiplikationsregeln, d.h. zur Quark-Darstellungsmatrix \[ U \, U' \] (der Strich hat hier nichts mehr mit der Determinante wie oben noch zu tun) gehört die Antiquark-Darstellungsmatrix \[ (U \, U')^{*} = U^{*} \, U'^{*} \] Beide Darstellungsformen spiegeln also die \(SU(3)\)-Gruppenmultiplikation korrekt wieder. Man spricht auch von verschiedenen Darstellungen der Gruppe \(SU(3)\). Mehr zum Thema "Darstellungen einer Gruppe" finden Sie in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.6: Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie.

Die zweite Gleichung \( \chi' = U^{*} \chi \) können wir durch Transponieren noch etwas anders schreiben, wobei wir aus dem Spaltenvektor \( \chi \) den Zeilenvektor \[ \chi^{T} = (\chi_1, \chi_2, \chi_3) \] machen und die transponierte Matrix \( (U^{*})^{T} = U^{+} \) verwenden: \[ \chi'^{T} = \chi^{T} \, U^{+} \] Bei Quarks wird also die Matrix \(U\) von links an den Spaltenvektor \(\psi\) heranmultipliziert, bei Antiquarks wird dagegen die Matrix \(U^{+}\) von rechts an den Zeilenvektor \( \chi^{T} \) heranmultipliziert.

Um zu sehen, ob unsere bisherigen Ideen die Farbladungseigenschaften von Quarks und Antiquarks sinnvoll widerspiegelt, müssen wir uns die Farbwellenfunktionen von Hadronen ansehen. Wir beginnen mit Mesonen, also Quark-Antiquark-Zuständen.

Mesonen:

Die Farbwellenfunktionstabelle von Mesonen besteht aus drei Spalten: Spalte 1 für die Farbladung des Quarks, Spalte 2 für die Farbladung des Antiquarks und Spalte 3 für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsamplitude (siehe oben). Insgesamt ergeben sich so neun Zeilen, jeweils eine für jede Farbladungskombination. Wir wollen wieder unsere Indexschreibweise verwenden und die Wahrscheinlichkeitsamplituden als komplexe Zahlen in der Form \[ A_{ij} \] schreiben. Dabei steht der Index \(i\) für die Farbladung des Quarks und der Index \(j\) entsprechend für die Farbladung des Antiquarks. Die komplexen Zahlen \( A_{ij} \) können wir als Matrixelemente einer komplexwertigen 3-mal-3-Matrix \(A\) auffassen, oder alternativ als die 9 Komponenten eines Vektors, die vom Doppelindex \( (i, j) \) durchnummeriert werden.

Wie wirkt sich nun eine Veränderung des Blickwinkels bei den Farbladungen aus?

Für jeden festen Wert der Antiquark-Farbladung \(j\) bilden die drei zugehörigen \( A_{ij} \) (mit \(i = 1, 2, 3\)) einen Quark-Farbladungs-Spaltenvektor, der die drei Wahrscheinlichkeitsamplituden dafür angibt, dass das Quark die Farbladung \(i\) hat (mit vorgegebener Antiquark-Farbladung \(j\)). Diese Spaltenvektoren sollten sich daher analog zu unserem Quark-Farbladungsvektor \(\psi\) verändern.

Umgekehrt können wir aber auch die Quark-Farbladung \(i\) fest vorgeben – die drei zugehörigen \( A_{ij} \) (mit \(j = 1, 2, 3\)) bilden dann einen Antiquark-Farbladungs-Zeilenvektor, der sich analog zu \(\chi\) verändern soll.

Wir können nun beide Schritte hintereinanderschalten, wobei die Reihenfolge egal ist: Die Spalten der Matrix \(A\) werden erst mit \(U\) von links verändert, und anschließend werden die Zeilen von \(A\) mit \(U^{+}\) von rechts verändert. Damit ergibt sich die folgende Transformationsformel der Quark-Antiquark-Farbladungsmatrix:

Transformation der Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktion: \[ A' = U \, A \, U^{+} \]

Man kann das auch wieder so ausdrücken:

Wenn eine Änderung im Farbraum bei Quarks durch die Matrix \(U\) dargestellt wird, so wird sie bei Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktionen durch die die obige Formel dargestellt.

Dieser Gedanke wird noch deutlicher, wenn wir die obige Formel in Vektorschreibweise notieren. Dazu schreiben wir sie zunächst in Komponenten aus: \[ A'_{ij} = \sum_{m n} U_{im} \, U_{jn}^{*} \, A_{mn} \] wobei die Indizes \(m\) und \(n\) in der Summe von 1 bis 3 laufen.

Wenn wir nun die 3-mal-3-Matrizen \(A\) und \(A'\) als Vektoren mit 9 Komponenten auffassen, indem wir die beiden Indizes \(i\) und \(j\) als Doppelindex \( (i j) \) betrachten, so kann man die Produkte \( U_{im} \, U_{jn}^{*} \) als Komponenten einer 9-mal-9-Matrix auffassen, die wir mit \( U \otimes U^{*} \) bezeichnen wollen, d.h. \[ U_{im} \, U_{jn}^{*} =: [U \otimes U^{*}]_{ij,mn} \] mit den beiden Doppelindizes \( (i j) \) und \( (m n) \). In dieser Notation lautet die obige Formel dann:

\[ A' = [U \otimes U^{*}] \, A \]

Das \(U\) in \( U \otimes U^{*} \) wirkt also nur auf den ersten Index von \(A\), das \(U^{*}\) auf den zweiten Index. Die Matrix \( U \otimes U^{*} \) ist also die Darstellungsmatrix der Änderung im Farbladungsraum bei Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktionen. So etwas nennt man auch eine Produktdarstellung der Gruppe \(SU(3)\).

Die Formel \( A' = U \, A \, U^{+} \) entspricht genau der Transformationsformel für eine Matrix bei einem Basiswechsel zwischen Orthonormalbasen.

Diese Formel ermöglicht es uns nun, genau zu definieren, was eine farbneutrale (weiße) Quark-Antiquark-Farbladungsmatrix sein soll, so wie wir sie für Mesonen brauchen:

Eine solche farbneutrale Matrix soll sich bei der Veränderung des Blickwinkels im Farbladungsraum nicht ändern, d.h. es soll \(A' = A\) sein. Man spricht auch von einem Farb-Singulett. Bis auf einen Vorfaktor muss also \(A\) gleich der Einheitsmatrix \(E\) sein (also eine Diagonalmatrix mit Einsen in der Diagonalen), denn wegen der Unitarität von \(U\) ist ja \( U^{+} U = 1 \), was uns bei \(A \sim E\) automatisch \(A' = A\) garantiert.

Den Vorfaktor wählen wir so, dass die Summe der drei quadrierten Diagonal-Wahrscheinlichkeitsamplituden \(A_{ii}\) gleich 1 ist, so dass sich analog zu \(\psi\) und \(\chi\) die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergibt:

Quark + Antiquark -Farb-Singulett: \[ A = \frac{1}{\sqrt{3}} \, E \]

\(A\) ist also eine Diagonalmatrix mit den Diagonalmatrixelementen \( 1/\sqrt{3} \). Das bedeutet, dass Quark und Antiquark immer entgegengesetzte Farbladungen tragen (z.B. rot und antirot) und dass die Wahrscheinlichkeit für alle drei Paarungen gleich groß ist, nämlich \(1/3\). Das ist genau unsere Meson-Farbladungstabelle von oben.

Um ein Farb-Singulett konstruieren zu können, hätten es auch allgemeinere Gruppen als \(SU(3)\) getan. Wenn wir oben überall \( U^{+} = U^{ -1} \) einsetzen ( \(U^{ -1}\) ist die inverse Matrix zu \(U\)), so sehen wir, dass wir für \(U\) auch eine beliebige invertierbare komplexe 3-mal-3-Matrix nehmen können, und immer noch ändert sich \( A = \frac{1}{\sqrt{3}} \, E \) nicht bei der Transformation \( A' = U \, A \, U^{ -1} \). Wir werden gleich sehen, dass erst die Bedingung, eine invariante Baryon-Farbwellenfunktion aufstellen zu können, die Gruppe auf \(SU(3)\) bzw. \(U(3)\) festlegt.

Baryonen:

Bei den Baryonen haben wir es mit drei Quarks zu tun, d.h. die entsprechenden Farbladungs-Wahrscheinlichkeitsamplituden (Pfeile) haben drei Farbindizes: \[ B_{ijk} \] Alle diese Amplituden zusammen entsprächen einer dreidimensionalen Matrix \(B\) – man spricht auch von einem Tensor. Ähnlich wie bei den Mesonen können wir hier jeweils zwei Farbladungen (Indizes) festhalten, so dass der dritte Index die Farbladungen eines Quarks durchgeht und sich so wieder ein Quark-Farbladungs-Spaltenvektor ergibt. Das Transformationsverhalten von \(B\) sollte daher so aussehen:

Transformation der 3-Quark-Farbladungs-Wellenfunktion: \[ B' = [U \otimes U \otimes U] \, B \]

Die Bedeutung dieser Schreibweise kennen wir bereits von den Quark-Antiquark-Wellenfunktionen. In Komponenten ausgeschrieben lautet sie: \[ B'_{ijk} = \sum_{mnp} U_{im} \, U_{jn} \, U_{kp} \, B_{mnp} \] wobei die Indizes \(m, n, p\) in der Summe von 1 bis 3 laufen. Das erste U in \( U \otimes U \otimes U \) wirkt also nur auf den ersten Index von \(B\) usw.. Wieder haben wir eine Produktdarstellung von \(SU(3)\) vor uns, wobei wir uns \(B\) als 27-komponentigen Vektor mit Dreifachindex \( (ijk) \) vorstellen können und \( U \otimes U \otimes U \) als zugehörige Darstellungsmatrix auf den 3-Quark-Farbladungs-Wellenfunktionen.

Wie muss hier ein Farb-Singulett aussehen, also ein farbneutrales (weißes) \(B\), das sich bei der Veränderung des Blickwinkels im Farbladungsraum nicht ändert, so dass \( B' = B \) ist?

An dieser Stelle brauchen wir nun, dass \(U\) aus der Gruppe \(SU(3)\) stammt, so dass \[ \det{U} = 1 \] ist. Ausgeschrieben lautet diese Gleichung \[ \det{U} = \sum_{mnp} U_{1m} \, U_{2n} \, U_{3p} \, \epsilon_{mnp} = 1 \] mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol \(\epsilon_{mnp}\), d.h. \(\epsilon_{mnp}\) ist \(1\), wenn \( (m, n, p) = (1, 2, 3) \) oder \( (2, 3, 1) \) oder \( (3, 1, 2) \) ist, oder es ist \( - 1 \), wenn \( (m, n, p) = (1, 3, 2) \) oder \( (2, 1, 3) \) oder \( (3, 2, 1) \) ist, und Null sonst. Vertauschung von zwei Indizes in \( \epsilon_{mnp} \) ergibt also immer einen Vorzeichenwechsel. Man sagt auch, \( \epsilon_{mnp} \) ist das Signum der Permutation von \( (1, 2, 3) \) nach \( (m, n, p) \).

Der obige Ausdruck für \( \det{U} \) ist antisymmetrisch, wenn man darin beispielsweise die ersten beiden Spaltenvektoren von \(U\) (also die Indizes 1 und 2 ) vertauscht, denn man kann dann die Indizes \(m\) und \(n\) in der Summe ineinander umbenennen und muss sie dann in \(\epsilon_{mnp}\) vertauschen, um den ursprünglichen Ausdruck zu erhalten.

Analog findet man, dass der Ausdruck insgesamt antisymmetrisch beim Vertauschen zweier der drei Indizes 1, 2, 3 und zugleich symmetrisch beim zyklischen Vertauschen dieser Indizes ist. Wären zwei der Indizes gleich, so folgt aus derselben Argumentation, dass die Summe dann Null ist. Es ist also \[ \sum_{mnp} U_{im} \, U_{jn} \, U_{kp} \, \epsilon_{mnp} = \] \[ = \epsilon_{ijk} \, \sum_{mnp} U_{1m} \, U_{2n} \, U_{3p} \, \epsilon_{mnp} = \] \[ = \epsilon_{ijk} \, \det{U} = \epsilon_{ijk} \] wenn (und nur wenn) \(U\) aus \(SU(3)\) ist und somit \( \det{U} = 1 \) gilt, sodass der Faktor \(\det{U}\) wegfällt.

Wenn wir nun \( B_{mnp} = \epsilon_{mnp} \) setzen, so steht links (oben) genau die Transformationsformel für \(B\), und rechts (unten) kommt dann \( \epsilon_{ijk} = B'_{ijk} \) heraus. Da \( \epsilon_{ijk} \) insgesamt für 6 Indexkombinationen ungleich Null (und dann gleich 1) ist, fügen wir noch den Normierungsfaktor \(1/\sqrt{6}\) hinzu, so dass die Summe aller Amplitudenquadrate wieder 1 ergibt:

3-Quark-Farb-Singulett: \[ B_{ijk} := \frac{1}{\sqrt{6}} \, \epsilon_{ijk} \]

Das ist unser weißes Baryon-Farbsingulett für 3-Quark-Farbladungszustände, denn es gilt für dieses \(B\) und für \(U\) aus \(SU(3)\) \[ B = B' = [U \otimes U \otimes U] \, B \] Die Baryon-Farbladungstabelle oben ist genau dieses \(B\). Die Farbladungs-Amplituden \(B_{ijk}\) sind also nur dann ungleich Null, wenn die drei Quarks verschiedene Farbladungen tragen (z.B. r, g, b). Dabei haben sie alle denselben Betrag, wechseln aber das Vorzeichen beim Vertauschen zweier Farbladungen.

Das ist ein sehr nützlichen Nebeneffekt, denn dadurch wird das Pauliprinzip gerettet, das sich sonst bei einigen Baryonen nicht garantieren ließe. Ein Beispiel ist das \(\Delta^{++}\)-Baryon, das aus drei gleichen u-Quarks besteht, die alle denselben Spin aufweisen, so dass die gesamte Wellenfunktion vollkommen symmetrisch beim Austausch zweier Quarks wäre, wenn es nicht die Farbladung und die zugehörige antisymmetrische Farbladungs-Wellenfunktion gäbe.

Wäre auch bei einer anderen Gruppe als \(SU(3)\) das obige \(B\) ein Farbladungs-Singulett? Wenn wir uns die Rechnung oben ansehen, so stellen wir fest, dass dann \( B' = B \, \det{U} \) gilt. Bei \(U\) aus \(U(3)\) statt \(SU(3)\) wäre \( \det{U} \) ein harmloser globaler Phasenfaktor, den wir weglassen können, so dass wir uns auf \(SU(3)\) beschränken können (hatten wir oben bereits diskutiert). Bei einer nicht-unitären Gruppe würde der Faktor \( \det{U} \) jedoch stören – eine nicht-unitäre Gruppe für Transformationen im Farbladungsraum passt also nicht zu unseren Anforderungen.

Starke Kraftfelder (warum 8 Gluonen?):

Starke Kraftfelder transportieren Farbladungen zwischen Quarks hin und her. So kann man sich vorstellen, dass die Farbladung rot in die eine Richtung und die Farbladung blau in die Gegenrichtung transportiert wird (was gleichwertig dazu ist, dass die Farbladung antiblau parallel zu rot transportiert wird). Ein starkes Kraftfeld sollte also Indizes \(i\) und \(j\) haben, die für die transportierte Farbladung und Anti-Farbladung stehen. Damit kann man ein starkes Kraftfeld durch eine komplexwertige 3-mal-3-Matrix \(A\) darstellen, ganz analog zu der Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktion bei Mesonen oben.

Genau genommen kommt hier noch ein weiterer Raumzeit-Index \(\mu = 0, 1, 2, 3\) hinzu, so dass die vier \(A_\mu\)-Matrizen zusammen einen relativistischen Vierervektor bilden. Man müsste dann auch genauer von Eichpotentialen sprechen, aus denen man die Kraftfelder berechnen kann (übrigens haben bei globalen Farbraum-Transformationen auch die Kraftfelder bzw. der sogenannte Feldstärketensor im Farbladungsraum dasselbe Transformationsverhalten wie die Eichpotentiale, so dass der Unterschied hier unwichtig ist). In der quantisierten Version treten außerdem Gluonen an die Stelle der Kraftfelder, so dass man \(A\) in Zusammenhang mit einer Gluon-Farbladungs-Wellenfunktion sehen kann. Wir wollen hier nicht weiter ins Detail gehen – mehr dazu und zu Gluonen in Kapitel 5.3.

Die Gluonmatrix \(A\) transformiert sich bei Veränderung des Blickwinkels im Farbladungsraum genau wie die Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktion, was aufgrund der Bedeutung der Indizes (Farbladung und Anti-Farbladung) auch naheliegt:

Transformation der Gluon-Farbladungs-Wellenfunktion: \[ A' = U \, A \, U^{+} \]

Die Matrix \(A\) hat insgesamt 9 komplexwertige Matrixelemente \(A_{ij}\), entsprechend den 9 möglichen Kombinationen von Farbladung und Anti-Farbladung, für die es jeweils eine Wahrscheinlichkeitsamplitude gibt. Man könnte daher in diesem Sinne annehmen, dass es neun Gluonen gibt.

Hier führt jedoch das zu einfache anschauliche Farbbild in die Irre, denn es gibt eine weitere Zusatzbedingung, die wir aufgrund experimenteller Beobachtungen über die starke Wechselwirkung hinzunehmen müssen: Es gibt keine freien Gluonen, d.h. Gluonen sind immer im Inneren der Hadronen eingeschlossen, analog zu Quarks und Antiquarks.

Freie Gluonen müssten wir durch farbneutrale Objekte (Farb-Singuletts) darstellen, wenn wir davon ausgehen, dass alle freien Teilchen farbneutral sein müssen (Stichwort Confinement). Nun gibt es bei den Gluonmatrizen \(A\) aber genau solche Farbsinguletts, nämlich die Matrizen der Form \[ A = k E \] mit irgendeiner komplexen Zahl \(k\) ungleich Null und der Einheitsmatrix \(E\) (entsprechend unserer farbneutralen Quark-Antiquark-Matrix für Mesonen von oben). Solche Matrizen müssen wir ausschließen, wenn wir keine freien farbneutralen Gluonen haben wollen. Das kann man durch die Zusatzbedingung \[ \mathrm{Spur} \, A = \sum_{i} A_{ii} = 0 \] erreichen, d.h. \(A\) soll eine spurlose Matrix sein. Glücklicherweise ist dann auch die Matrix \( A' = U \, A \, U^{+} \) automatisch ebenfalls spurlos, so dass die Bedingung nicht durch eine Transformation im Farbladungsraum zerstört wird.

Die Spur-Zusatzbedingung bedeutet, dass nur zwei der drei Diagonalelemente von \(A\) voneinander unabhängig sind. Damit bleiben 8 unabhängige komplexe Zahlen zur Beschreibung von \(A\) übrig. In diesem Sinne spricht man davon, dass es 8 Gluonen gibt.

Man kann \(A\) also als komplexe Linearkombination von 8 Basismatrizen schreiben. Diese Basismatrizen kann man hermitesch wählen (also beispielsweise die 8 Gell-Mann-Matrizen nehmen, die wir weiter unten noch kennenlernen werden). Hintergrund dazu ist, dass man \(A\) in zwei Anteile zerlegen kann, die durch die obige Transformation nicht miteinander vermischt werden: \[ A = \] \[ = \frac{1}{2}(A + A^{+}) + \frac{1}{2}(A - A^{+}) = \] \[ =: A_{h} + A_{ah} \] Dabei gilt \[ A_{h}^{+} = A_{h} \] \[ A_{ah}^{+} = - A_{ah} \] d.h. wir haben \(A\) in einen hermitschen Anteil \(A_{h}\) und einen antihermiteschen Anteil \(A_{ah}\) aufgeteilt (h und ah sind hier nur Matrix-Kennzeichner zum Unterscheiden der beiden Matrizen, keine Laufindizes).

Man kann nun leicht nachrechnen, dass auch \( U \, A_{h} \, U^{+} \) hermitesch bzw. \( U \, A_{ah} \, U^{+} \) antihermitesch ist. Die Transformation mit \(U\) mischt also hermitesche und antihermitesche Matrizen nicht miteinander.

In einer hermitschen Matrix erfüllen die Matrixelemente die Bedingung \( A_{ij} = A_{ji}^{*} \). Die drei Diagonal-Matrixelemente \(A_{ii}\) sind also reell, und die drei Matrixelemente links unter der Diagonalen ergeben sich aus den drei Matrixelementen rechts über der Diagonalen durch komplexes Konjugieren. Insgesamt haben wir also drei unabhängige reelle und drei unabhängige komplexe Matrixelemente, die wir insgesamt durch neun unabhängige reelle Zahlen beschreiben können. Nehmen wir die Spurlosigkeit hinzu, so bleiben 8 reelle Parameter. Entsprechend können wir den hermiteschen Anteil von \(A\) als reelle Linearkombination von 8 hermiteschen spurlosen Basismatrizen schreiben (wir werden solche Basismatrizen etwas weiter unten noch kennenlernen).

Nun können wir aus jeder hermiteschen Matrix durch Multiplikation mit der imaginären Einheit \( i \) eine antihermitesche Matrix machen und umgekehrt. Die 8 hermiteschen Basismatrizen ergeben daher nach Multiplikation mit \(i\) eine Basis für den antihermiteschen Anteil von \(A\). Insgesamt ergibt sich so, dass wir jede spurlose invertierbare Matrix \(A\) als komplexe Linearkombination von 8 hermiteschen invertierbaren spurlosen Basismatrizen schreiben können. Die Realteile der Koeffizienten sorgen für den hermiteschen Anteil, die Imaginärteile der Koeffizienten für den antihermiteschen Anteil von \(A\).

Wenn die Matrix \(A\) für das klassische (nicht quantisierte) starke Kraftfeld (Eichpotential) steht, dann kann man sich auf den hermiteschen Anteil beschränken, d.h. \(A\) ist dann eine reelle Linearkombination der 8 hermiteschen Basismatrizen. Warum das so ist, werden wir in Kapitel 5.3 genauer kennenlernen.

Farbladungens-Wellenfunktionen und SU(3)-Quantenzahlen:

In der Grafik am Beginn dieses Kapitels haben wir die drei Farbladungen als Ecken eines Dreiecks in ein x-y-Koordinatensystem eingetragen. Wieso geht das? Klar – es gibt die Analogie zum Farbkreis. Doch was genau wird hier eigentlich eingetragen, und welche Bedeutung haben die beiden Koordinatenachsen?

Um das herauszufinden, müssen wir die Struktur der Gruppe \(SU(3)\) genauer analysieren. Das funktioniert weitgehend analog zur Analyse der Drehgruppe (genauer deren Überlagerungsgruppe \(SU(2)\) ), so wie man es aus der Standard-Quantenmechanik des Drehimpulses her kennt. Mehr dazu finden Sie auch in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.8: Drehungen, Spin und Drehimpuls.

Man kann allgemein zeigen, dass man jede Matrix aus \(U(3)\) oder \(SU(3)\) (allgemeiner auch \(U(n)\) oder \(SU(n)\) ) in der folgenden Form schreiben kann (siehe z.B. Wikipedia: Matrixexponential): \[ U = e^{i H} = \] \[ := 1 + (i H) + \frac{1}{2}(i H)^{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} (i H)^{3} + \, ... \] wobei \(H\) eine komplexe 3-mal-3-Matrix ist und die Exponentialabbildung über die dargestellte Exponentialreihe definiert ist.

Weiter kann man zeigen: Aus der Unitarität von \(U\) folgt, dass die Matrix \(H\) hermitesch ist (\(H\) hier nicht mit dem quantenmechanischen Hamiltonoperator verwechseln). Beweis siehe Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.6 Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie (einfach \( H =: tH' \) schreiben mit reellem \(t\) und dann \( U^{+} U = 1 \) nach \(t\) bei \(t=0\) ableiten).

Wir hatten oben am Beispiel der hermiteschen Matrix \(A\) bereits gesehen, dass eine hermitesche Matrix mit neun reellen Zahlen parametrisiert werden kann. Man kann sie also als reelle Linearkombination von neun hermiteschen Basismatrizen schreiben, die wir mit \( \lambda_{1} , \, ... \, , \lambda_{9} \) bezeichnen wollen (der Faktor \(-1/2\) ist dabei Konventionssache): \[ H = - \sum_{i=1}^9 \alpha_{i} \, \frac{\lambda_{i}}{2} \] Dabei sind die Koeffizienten \( \alpha_{i} \) reelle Zahlen. Die Matrix \(H\) und damit auch die Matrix \(U\) hängen also von diesen 9 reellen Parametern ab. Zum Vergleich: bei der Drehgruppe entsprechen diese Parameter den Drehwinkeln.

Wir hatten oben gesehen, dass man jede unitäre Matrix als Produkt einer speziell unitären Matrix mal einem Phasenfaktor schreiben kann. Insbesondere gehört die Matrix \[ U = e^{i \varphi} \, E \] zu \( U(3) \), aber nicht zu \(SU(3)\). Entsprechend kann man eine der 9 Basismatrizen gleich der Einheitsmatrix \(E\) wählen. Wir setzen \[ \lambda_{9} = E \] so dass \[ e^{- i \alpha_{9} \, \lambda_{9}/2} = e^{- i \alpha_{9} \, E/2} = e^{- i \alpha_{9}/2} \, E \] genau so einen Phasenfaktor ergibt (indem wir \(\alpha_{9}/2 = - \varphi\) wählen).

Umgekehrt: Wenn wir \(U\) auf \(SU(3)\) beschränken wollen, so müssen wir genau solche Matrizen ausschließen. In diesem Fall geht die Summe für \(H\) nur von \(i = 1\) bis \(8\), wobei die Einheitsmatrix \(E\) nicht zu den 8 Basismatrizen gehört.

Ganz allgemein kann man für \( U = e^{i H} \) mit Hilfe der Formel \[ \det{U} = e^{i \, \mathrm{Spur} \, H} \] zeigen, dass aus \[ \det{U} = 1 \] die Bedingung \[ \mathrm{Spur} \, H = 0 \] folgt (die obige Formel \( \det{U} = e^{i \, \mathrm{Spur} \, H} \) kann man beispielsweise durch Diagonalisierung der Matrix \(U\) beweisen). Das kennen wir schon von unserer Gluon-Farbladungsmatrix von oben. Die Matrix \(H\) und damit auch die 8 Basismatrizen müssen also spurlos sein.

Wie finden wir nun geeignete Basismatrizen? Dazu können wir uns von der Analogie zu der Gruppe \(SU(2)\) und den zugehörigen hermiteschen spurlosen 2-mal-2-Matrizen leiten lassen. Eine entsprechende Basis dieser hermiteschen spurlosen Matrizen bilden die drei Pauli-Matrizen:

Diese Pauli-Matrizen können wir nun auf drei verschiedene Weise durch Auffüllen mit Nullen zu 3-mal-3-Matrizen erweitern:

• Wir fügen Nullen in einer neuen dritten Spalte sowie Zeile ein, was die Matrizen \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\) ergibt.

• Wir fügen Nullen in eine neuen mittleren Spalte sowie Zeile ein, was \(\lambda_{4}, \lambda_{5}, \lambda_{6}'\) ergibt (\(\lambda_{6}'\) werden wir noch modifizieren, daher der Strich).

• Wir fügen Nullen in eine neuen ersten Spalte sowie Zeile ein, was \(\lambda_{6}, \lambda_{7}, \lambda_{8}'\) ergibt.

Allerdings ergibt das neun statt acht Basismatrizen. Wenn wir uns die drei Diagonalmatrizen \[ \lambda_{3} = \mathrm{diag} \, (1, -1, 0) \] \[ \lambda_{6}' =\mathrm{diag} \, (1, 0, -1) \] \[ \lambda_{8}' = \mathrm{diag} \, (0, 1, -1) \] ansehen (die Klammer hinter "diag" gibt an, was in der Diagonalen der Matrix steht, der Rest sind Nullen), so stellen wir fest, dass diese drei Matrizen nicht linear unabhängig sind, denn \[ \lambda_{3} - \lambda_{6}' + \lambda_{8}' = 0 \] Wir könnten daher einfach eine der drei Diagonalmatrizen wegfallen lassen. Es hat sich eingebürgert, stattdessen die beiden Matrizen \(\lambda_{6}'\) und \(\lambda_{8}'\) durch ihre mit \(1/\sqrt{3}\) normierte Summe zu ersetzen: \[ \lambda_{8} := \frac{1}{\sqrt{3}} \, (\lambda_{6}' + \lambda_{8}') = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{3}} \, \mathrm{diag} \, (1, 1, -2) \] Der Normierungsfaktor wird dabei so gewählt, dass für alle Basismatrizen die Beziehung \[ \mathrm{Spur} \, ( \lambda_{i} \, \lambda_{j} ) = 2 \, \delta_{ij} \] erfüllt ist (mit dem Kronecker-Symbol \( \delta_{ij} = 1 \) für \(i = j\) und Null sonst). Letztlich bedeutet das für \(\lambda_{8}\), dass die Summe der quadrierten Diagonalelemente gleich 2 ist. Wozu das gut ist, sehen wir weiter unten.

Man bezeichnet diese Basismatrizen auch als Gell-Mann-Matrizen (benannt nach Murray Gell-Mann, der zusammen mit anderen im Jahre 1964 die Hypothese aufstellte, dass alle Hadronen aus Quarks aufgebaut sind, siehe Kapitel 4.2). Hier sind diese Matrizen noch einmal explizit:

Da wir diese 8 Basismatrizen in Analogie zu den drei Paulimatrizen \(\sigma_{i}\) gewählt haben, definieren wir nun analog zu den Spinmatrizen \( S_{i} := \sigma_{i} / 2 \) die F-Matrizen \[ F_{i} := \frac{\lambda_{i}}{2} \] (analog auch für \( \lambda_{6}', \lambda_{8}'\), die \(F_{6}', F_{8}'\) ergeben). Dabei verhalten sich die folgenden Dreiergruppen bezüglich ihrer Multiplikationseigenschaften untereinander genau wie die drei Spinmatrizen, denn sie wurden ja analog aus diesen gebildet (daher nennt man die Dreiergruppen auch formal T-Spin, V-Spin und U-Spin):

• T-Spin: \( \; F_{1} , F_{2} , F_{3} \)
• V-Spin: \( \; F_{4} , F_{5} , F_{6}' \)
• U-Spin: \( \; F_{6} , F_{7} , F_{8}' \)

Man kann nun analog zu Spins auch hier jeweils Leiteroperatoren etc. definieren und so systematisch die Darstellungen von \(SU(3)\) konstruieren. Das würde hier jedoch zu weit führen.

Bei Spin 1/2 kann man die Quanten-Basiszustände durch eine Quantenzahl kennzeichnen: die Spinkomponente \(m\) bezogen auf eine Raumrichtung. Meist wählt man dafür die z-Richtung, so dass in dieser Basis der Spinoperator \( S_{3} = \sigma_{3} / 2 \) diagonal ist und in der Diagonale die beiden \(m\)-Werte enthält. Die beiden Basisvektoren \((1,0)\) und \((0,1)\) sind dann Eigenvektoren von \(S_{3}\) zu den Eigenwerten \(m = \pm 1/2\).

Analog kann man auch bei der Quark-Farbladungswellenfunktion vorgehen. Dem Spinoperator \( S_{3} \) entsprechen die drei Operatoren (Matrizen) \(F_{3}, F_{6}', F_{8}'\), die wir diagonal gewählt hatten, so dass unsere Basis im Farbladungsraum den Eigenvektoren dieser Operatoren entspricht. Die Eigenwerte sind dann die entsprechenden Diagonalelemente dieser Matrizen.

Da diese drei Matrizen nicht linear unabhängig sind, hatten wir außerdem den Operator \[ F_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} \, (F_{6}' + F_{8}') \] eingeführt. Hier sind die entsprechenden Eigenwerte (Diagonalelemente) dieser Matrizen für unsere drei Basisvektoren (die wir hier allein aus Platzgründen als Zeilenvektoren geschrieben haben):

Farbl.	Basisvektor		\(F_{3}\)	\(F_{6}'\)	\(F_{8}'\)	\(F_{8} \)
rot	\((1, 0, 0)\)		\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\( \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} \)
gelb	\((0, 1, 0)\)		\(-\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\( \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} \)
blau	\((0, 0, 1)\)		\(0\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Jedem Basisvektor ist also eine eindeutige Eigenwert-Kombination von \(F_{3}, F_{6}', F_{8}'\) zugeordnet, oder alternativ eine eindeutige Eigenwertkombination von \(F_{3}, F_{8}\).

Wir können also die Basisvektoren durch eine solche Eigenwert-Kombination eindeutig kennzeichnen. Das ermöglicht es uns, die Basisvektoren in einem Eigenwert-Koordinatensystem eindeutig einzutragen. Dazu tragen wir beispielsweise auf der x-Achse den \(F_{3}\)-Eigenwert des Basisvektors ein, auf der y-Achse den \(F_{6}'\)-Eigenwert und auf der z-Achse den \(F_{8}'\)-Eigenwert.

Damit ergibt sich für jeden Basisvektor ein Punkt in diesem Koordinatensystem, oder alternativ ein Vektor vom Ursprung zu diesem Punkt, dessen Komponenten die drei Eigenwerte bilden. Die drei Punkte bilden dabei die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, das schräg in diesem Koordinatensystem liegt und durch den Ursprung geht, da die zugehörigen 3 Eigenwert-Vektoren linear abhängig voneinander sind. Der Vektor \( (1, -1, 1) \) ist einen Normalenvektor zu dieser Dreiecksfläche, steht also senkrecht darauf – in der Dreiecks-Ebene gilt also für die Koordinaten der Zusammenhang \( x - y + z = 0 \).

Da die drei Punkte in einer Ebene liegen, ist es naheliegend, in dieser Ebene ein zweidimensionales Koordinatensystem einzuführen, so dass wir die 3 Farb-Basisvektoren durch Punkte in dieser Ebene statt durch Punkte im dreidimensionalen Raum kennzeichnen können. Wir definieren die Koordinaten \(a\) und \(b\) in der Ebene durch \[ a := x \] \[ b := \frac{1}{\sqrt{3}} \, (y + z) \] so dass sich als \(b\)-Koordinate der \(F_{8}\)-Eigenwert ergibt.

Die Bedingung \( x - y + z = 0 \) können wir dann dadurch erfüllen, dass wir \[ y = \frac{a}{2} + \sqrt{3} \, \frac{b}{2} \] \[ z = -\frac{a}{2} + \sqrt{3} \, \frac{b}{2} \] setzen. Vektoriell kann man das auch schreiben als \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} + b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Wie wir sehen, sind die beiden Vektoren auf der rechten Seite senkrecht zum Normalenvektor \( (1, -1, 1) \), so dass dies wirklich eine Parametrisierung der Fläche ist. Außerdem haben die beiden Vektoren dieselbe Länge von \(3/2\) (genau dafür braucht man den Normierungsfaktor \(\sqrt{3}\)) und sie stehen senkrecht aufeinander, bilden also die Achsen eines karthesischen Koordinatensystems auf der Fläche.

Entsprechend der obigen Formeln tragen wir in diesem a-b-Koordinatensystem der Ebene nun auf der a-Achse den \(F_{3}\)-Eigenwert und auf der b-Achse den \(F_{8}\)-Eigenwert des jeweiligen Basisvektors ein. Es ergibt sich damit das folgende Bild:

In der Literatur schreibt man oft \(T_{3}\) statt \(F_{3}\) sowie (bis auf einen Vorfaktor) \(Y\) statt \(F_{8}\), wobei man den Faktor zwischen \(Y\) und \(F_{8}\) so wählt, dass glatte Zahlen für die Eigenwerte entstehen. Im Prinzip ist die Situation jedoch vollkommen symmetrisch bezüglich Drehungen um 120 Grad, was man am besten im dreidimensionalen Koordinatensystem oben sieht.

Wie sieht das entsprechende Bild für die Farbladung von Antiquarks aus? Oben haben wir gesehen: Wenn ein Quark-Farbladungsvektor \(\psi\) mit der \(SU(3)\)-Matrix \(U\) verändert wird, so muss parallel dazu ein Antiquark-Farbladungsvektor \(\chi\) mit der komplex konjugierten Matrix \(U^{*}\) verändert werden. \(U\) und \(U^{*}\) sind also die Darstellungsmatrizen auf den Quark- bzw. Antiquark-Farbladungsvektoren zu einer bestimmten Änderung im Farbraum. Nun ist \[ U = e^{- i \, \sum_{i} \alpha_{i} \, F_{i}} \] \[ U^{*} = e^{- i \, \sum_{i} \alpha_{i} \, (- F_{i}^{*})} \] Man drückt das analog so aus: Die Matrizen \( F_{i} \) sind die Darstellungsmatrizen des Exponenten auf den Quark-Farbladungsvektoren, und die Matrizen \( (- F_{i}^{*}) \) sind die Darstellungsmatrizen des Exponenten auf den Antiquark-Farbladungsvektoren.

Ganz allgemein erhält man aus einer Darstellungsmatrix \( u \) einer Änderung im Farbladungsraum die zugehörige Darstellungsmatrizen \(f_{i}\) des Exponenten über die Beziehung \[ f_{i} := i \, \frac{\partial u}{\partial \alpha_{i}} \bigg|_{\alpha_{i} = 0} \] so dass \[ u = e^{- i \, \sum_{i} \alpha_{i} \, f_{i}} \] gilt. Bei Quarks ist dann \[ u = U \] \[ f_{i} = F_{i} \] und bei Antiquarks ist \[ u = U^{*} \] \[ f_{i} = - F_{i}^{*} \] Bei Quark + Antiquark (Mesonen) oder bei Gluonen ist dagegen \[ u = U \otimes U^{*} \] (zu den dazugehörenden \(f_{i}\) kommen wir gleich) und bei 3 Quarks ist \[ u = U \otimes U \otimes U \] Die reellen Eigenwerte der Antiquark-Darstellungmatrizen \( (- F_{i}^{*}) \) sind nun genau das Negative der Eigenwerte der Quark-Darstellungmatrizen \( F_{i} \). Wir müssen also in unserem obigen Bild die Farbladungen am Ursprung spiegeln, um zu den Anti-Farbladungen zu gelangen, denn wir wollen die Eigenwerte der entsprechenden Darstellungsmatrizen dort eintragen.

Wenn man nun mehrere Quarks und Antiquarks zusammen betrachtet, wie müsste man dann die zugehörigen Basis-Farbwellenfunktionen in der Grafik eintragen? Dazu muss man wissen, dass sich beim Zusammensetzen von Quarks und Antiquarks die zugehörigen Eigenwerte der Quark- und Antiquark-Darstellungsmatrizen \(f_{i}\) additiv verhalten.

Nehmen wir als Beispiel zwei Quarks oder zwei Antiquarks. Die zugehörige Farbladungs-Wellenfunktion \(A\) transformiert sich dann nach der Formel \[ A' = u A = [u' \otimes u''] A \] \(u'\) und \(u''\) beide gleich \(U\) oder beide gleich \(U^{*}\) sein können, und \( u = u' \otimes u'' \) ist. Die entsprechende Darstellungsmatrix \(f_{i}\) des Exponenten wäre dann \[ f_{i} = i \, \frac{\partial u}{\partial \alpha_{i}} \bigg|_{\alpha_{i} = 0} = \] \[ = i \, \frac{\partial [u' \otimes u'']}{\partial \alpha_{i}} \bigg|_{\alpha_{i} = 0} = \] \[ = i \, \left( \left[ \frac{\partial u'}{\partial \alpha_{i}} \otimes u'' \right] + \left[ u'' \otimes \frac{\partial u}{\partial \alpha_{i}} \right] \right)_{\alpha_{i} = 0} = \] \[ = [f '_{i} \otimes E]   +   [E \otimes f ''_{i}] \] mit der Einheitsmatrix \(E\).

Ganz analog geht es auch bei mehr Quarks / Antiquarks. Damit können wir nun die Darstellungsmatrizen \(f_{i}\) bei Quark + Antiquark (Mesonen) oder Gluonen angeben. Sie lauten \[ f_{i} = [F_{i} \otimes E] + [E \otimes (- F_{i}^{*})] \] Bei 3 Quarks lauten sie dagegen \[ f_{i} = \] \[ = [F_{i} \otimes E \otimes E] + \] \[ + [E \otimes F_{i} \otimes E] + \] \[ + [E \otimes E \otimes F_{i}] \] Das sind für \(i = 3\) und \(i = 8\) wieder Diagonalmatrizen, denn wenn man allgemein zwei Diagonalmatrizen \(A\) und \(B\) entsprechend kombiniert, so ist \[ \left( [A \otimes E] + [E \otimes B] \right)_{mn,pq} = \] \[ = [A \otimes E]_{mn,pq} + [E \otimes B]_{mn,pq} = \] \[ = A_{mp} \, E_{nq} + E_{mp} \, B_{nq} = \] \[ = a_{m} \, \delta_{mp} \, \delta_{nq} + \delta_{mp} \, b_{n} \, \delta_{nq} = \] \[ = (a_{m} + b_{n}) \, \delta_{mn,pq} \] mit dem Kronecker-Symbol \(\delta\) und den Diagonalelementen \(a_{m}\) und \(b_{n}\) der Diagonalmatrizen \(A\) und \(B\).

Entsprechend addieren sich die Eigenwerte der \(f_{3}\) und \(f_{8}\)-Darstellungsmatrizen, d.h. beim Kombinieren von Quark- und Antiquark-Farbladungen können wir die entsprechenden Farbvektoren in der obigen Grafik einfach addieren. Für die Kombination von Farbladung und Anti-Farbladung (bzw. für Mesonen oder Gluonen) ergibt sich so insgesamt das folgende Bild:

Für jede Kombination aus Farbladung und Antifarbladung entsteht ein Punkt in der Grafik, so dass wir 9 Punkte erhalten. Drei davon liegen in der Mitte, nämlich die drei Kombinationen rot-antirot, gelb-antigelb und blau-antiblau. Sie haben also in diesem Sinn alle drei die Farbladung weiß. Dennoch können sich die entsprechenden Farbladungsmatrizen bei einer Transformation im Farbraum verändern und somit Farbladung erhalten, was die Grafik so nicht hergibt. Lediglich eine bestimmte Linearkombination ist invariant und damit wirklich weiß – unser Singulett, das wir oben bereits betrachtet haben.

Die Situation ist ganz analog zur Kombination zweier Elektronenspins. Die Spinkomponenten \( m \) und \( m' \) in z-Richtung addieren sich, d.h. der Spin-Gesamtzustand hat die Spinkomponente \( M = m + m' \). Bei zwei entgegengesetzt orientierten Spins (also \(M = 0\)) muss der entsprechende Spinzustand dennoch nicht invariant unter räumlichen Drehungen sein. Es könnte sich ja um einen Zustand mit Gesamtspin 1 handeln. Nur der Zustand mit Gesamtspin 0 ist invariant bei Drehungen, also ein Singulett.

Analoge Untersuchungen kann man auch für Farbladungen machen, d.h. man betreibt die Ausreduktion von \(SU(3)\)-Produktdarstellungen. Das bedeutet beispielsweise, dass man die 9-mal-9-Matrix \( U \otimes U^{*} \) durch Basiswechsel in eine Block-Diagonalgestalt bringt. Es ergibt sich dabei ein 8-mal-8-Block und ein 1-mal-1-Block (also eine 1 im Diagonalelement). Zu dieser 1 gehört genau der Singulettzustand, also beispielsweise die Meson-Farbwellenfunktion oder das verbotene Gluon. Der 8-mal-8-Block dagegen beschreibt beispielsweise die Farb-Transformation der 8 Gluonen.

Literatur:

• Halald Fritzsch: Quarks - Urstoff unserer Welt, Piper-Verlag, München 1984. – eine allgemeinverständliche Darstellung über Quarks, starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik von einem der Mitbegründer der QCD.

• Greiner, Müller: Theoretische Physik Band 5: Quantenmechanik II - Symmetrien, Verlag Harri Deutsch – hier findet man wirklich alles zur Gruppe SU(3).

• John Baez: Why are there eight gluons?

• Mein Webbuch Die Symmetrie der Naturgesetze, Kap. 4.6: Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie

• Artur Sperling: SU(3) und das Quarkmodell